НОРМАЛЬНОЕ ПСЕВДОРЕШЕНИЕ


Смотрите также: cholbal, qr, rank

Задача решения системы Ax=b методом наименьших квадратов приводит к системе нормальных уравнений Px=r, где P=A'A, r=A'b. Невырожденные уравнения можно решать, используя разложение Холецкого P=LL'. В более общем случае возможно выполнить трапецевидное разложение P=TT', достичь которое можно только с перестановкой.


Пусть L – треугольная матрица, верхнее завершение трапециевидной матрицы T, урезанной отбрасыванием в ней нулевых столбцов. Сведем QR-разложением матрицу T к правому трапецевидному виду R=QT, где нижние строки нулевые, Q – матрица преобразований Хаусхолдера.

Запишем усеченную систему уравнений T'x=L–1r сначала как T'Q'Qx=L–1r, отсюда R'Qx=L–1r. Матрица R сводится к треугольной отбрасыванием нулевых ее строк, что не нарушает размерности перемножаемых матриц, если Q сократится до прямоугольного блока ровно с тем же числом строк. Отсюда получим формулу нормального псевдорешения x=Q'R'–1L–1r.

Взвешенное псевдорешение. Связано с решением вырожденной системы PWy=r, минимальным в контексте нормы связанного вектора y=W–1x. Различие состоит, согласно T'Wy=L–1r, в масштабировании трапециевидной матрицы: диагональная матрица весов W масштабирует индивидуально каждую строку матрицы T (с учетом перестановок). В итоге, компонент с меньшим весом будет, как правило, меньше.


Rambler's Top100