КВАТЕРНИОНЫ


Рассмотрим оптимальную по детерминанту матрицу A11. Напомним, что следующая за A11 матрица H12 – последняя в ряду матриц Адамара, имеющая единственное представительство среди эквивалентных матриц.



Оптимальная по детерминанту матрица A11 и ее ступени


Оптимальная матрица A11 и матрица Мерсенна M11, обе циклические, отличаются числом уровней. Число уровней A11 повторяет шестиуровневая субоптимальная матрица J22.



Сопоставление A11 с циклической матрицей Мерсенна M11


Для политики растаскивания циклических матриц на ступени подходят ортогональные матрицы T1, T2, T3, T4, ... с большим количеством нулей, непересекающиеся по знаковым элементам в них.

Простейший базис получается из единичной матрицы (она диагональная), сдвигом ее диагонали. На 11-м порядке получим 11-ть примитивных диагональных матриц. Это количество излишнее, оптимальная матрица разлагается на меньшее количество неортогональных (в общем) слагаемых, которые в ее структуре видны явно.

Матрицу Мерсенна можно разложить так M = T1b T2, это специфические "комплексные числа" в мире матриц. Очевидно, что для отображения оптимальной матрицы с ее шестью ступенями двух образующих не хватит. Базис матриц Адамара вчетверо большего порядка образуют кватернионы T1, T2, T3, T4.

ЧЕТЫРЕ КВАТЕРНИОНА МАТРИЦЫ ГЕТХАЛЬСА-ЗЕЙДЕЛЯ


Из сумм кватернионов T1, T2, T3, T4 состоят четыре блока A, B, C, D матрицы Гетхальса-Зейделя, слагающие матрицу Адамара H44. Синие элементы матричных портретов – это нули.




Отличие кватернионов близких по смыслу матриц невелико, теоретически можно получить одни кватернионы из других небольшими "поправками".


По матрице Мерсенна M11 в сопоставимом ракурсе (ниже), довольно отчетливо видно, что первые два кватерниона (умноженные на 1 и –1, соответственно) подходят для передачи диагоналей ее матричного портрета. О четвертом кватернионе речи быть не может, это одна диагональ, настраиваемая как угодно. Но вот третьим кватернионом матрица Мерсенна и матрица Гетхальса-Зейделя отличаются: элементы, их образующие, идут в обратном порядке (!).

Это путь получения матриц Адамара вчетверо большего порядка коррекцией кватернионов матриц Мерсенна, поскольку эти матрицы имеют большое родство.


ПРИМЕР АППРОКСИМАЦИИ МАТРИЦАМИ МЕРСЕННА


Массив Гетхальса-Зейделя может использоваться для вычисления аппроксимаций матриц Адамара четверкой матриц Мерсенна A, B, C, D, коэффициенты B, C, D сведены к {1,–1}. Очевидно, этот способ годится также для варьируемой четырехуровневой аппроксимации матриц Адамара.


КОМПЛИМЕНТАРНАЯ ПАРА ДЛЯ МАТРИЦЫ МЕРСЕННА


Возникет также чисто теоретический вопрос у существовании для матриц Мерсенна комплиментарных матриц, способных порождать матрицы Адамара. Для малых порядков такие матрицы находятся итерациями оптимизации детерминанта.



Матрица Мерсенна M7 и комплиментарная ей матрица

Rambler's Top100