ГИПОТЕЗА О ПОРЯДКЕ 13


Миры чисел и матриц перекликаются и их взаимоотношения увязывается со следующей недавно возникшей гипотезой о хаосе (пограничном значении числа 13).



m=0.3098375495474202 h=1.117135171957338 det(A)=4123418


Гипотеза. Оптимальные по максимуму детерминанта квазиортогональные матрицы нечетного порядка начиная с порядка 13 имеют число модульных уровней k, n2k>>K=(n–1)/2+1, т.е. k>>7.

В теории чисел превалируют не теоремы, а гипотезы. Гипотезы, как правило, говорят о том, что сделать невозможно.

Степень их твердолобости не уступает известной теореме Ферма. К тому же, все они, возможно, связаны между собой, как пучок редиски. Эта гипотеза вторит пороговому числу гипотезы Баркера, последнюю связывают с объяснением гипотезы Ризера (о единственности циклического представления матрицы Адамара четвертым порядком).

ИЛЛЮСТРАЦИЯ НЕСТАБИЛЬНОСТИ УРОВНЕЙ МАТРИЦЫ ПОРЯДКА 13


Число уровней квазиортогональной матрицы глобального максимума детерминанта A13 заметно выше числа модульных уровней матрицы A11 (шесть). Судя по всему, решение неединственное и ямка глобального минимума m-нормы существует, но она крайне неглубока, итерационный алгоритм не находит определенной уровневой структуры.


МАТРИЦЫ ГЛОБАЛЬНОГО МАКСИМУМА ДЕТЕРМИНАНТА


Рассмотрим квазиортогональные матрицы максимального детерминанта, число модульных уровней возрастает линейно, примерно как K=(n–1)/2 (вариация у матриц 7, 9 порядков).











ПРЕДЕЛЬНАЯ МАТРИЦА ПРОКРУСТА A13




Матрица Прокруста A13 c m=0.309837 и ее уровни



Сопоставление матрицы Прокруста A13 и матрицы Рагхаварао R13


Определитель det(A13)=1/m13=4 123 418. Определитель округленной матрицы 10 223 616 примерно в полтора раза уступает максимальному для неортогональных матриц значению определителя матрицы Рагхаварао R13: 14 929 920.

На этом порядке исчерпывают себя циклические структуры: последняя циклическая матрица Рагхаварао R13 предопределяет, как видно, характер абсолютного и частного оптимумов. На низких порядках K+1≥k≥K–1, но начиная с порядка 13 малоуровневость перестает быть отличительной чертой квазиортогональных матриц (нечетного порядка), имеющих максимальный детерминант.

Отметим, что R13 венчает собой также сдвиговые структуры, построенные на кодах Баркера. В их отношении сформулирована сходная гипотеза об ограниченности таблицы кодов порядком кодовой последовательности 13. Ограниченный размер таблицы Баркера проверен ныне для очень больших значений четных порядков (примерно до 1030), для нечетных – предположение доказано, что верно.

Матрица Адамара H12 заканчивает собою последовательность первых четырех матриц порядков 2, 4, 8, 12, имеющих только одну эквивалентную реализацию, далее число реализаций их стремительно множится.

Rambler's Top100