BAUMERT-HALL ARRAY



The pleasure to find new matrix: Hadamard 92, 1961

© Nickolay A. Balonin, 16.10.2014


From left to right, Solomon Golomb (Assistant Chief of the Communications Systems Research Section), Leonard Baumert (a postdoc student at Caltech), and Marshall Hall, Jr. (Caltech mathematics professor) hold a framed representation of the matrix.


Вильямсон расширил практику блочного представления матриц Адамара, характерную для конструкций Пэли, увеличив число блоков по горизонтали и по вертикали еще вдвое, и назвав это массивом

W=
A
B
C
D
 –B 
A
 –D 
C
 –C 
D
A
 –B 
 –D 
 –C 
B
A


блоки которой (собственно, матрицы Вильямсона) представлены попарно-коммутативными симметрическими подматрицами порядка w с элементами ±1, удовлетворяющими условию ортогональности матрицы в целом A2+B2+C2+D2=4wI. Доказано существование матриц порядков 4w для всех w<60 (2007 г.), w=9s и w=(q+1)/2, q – простое целое из чисел, равных –l (mod 4).

Если n/2–1 = 1 mod 4, то существует решение: A и B отличаются только основной диагональю и C=D. В простейшем случае A=1, B=1, C=1, D=1 дает адамарову матрицу четвертого порядка (Circulant Hadamard Matrices R. Stanley), порядки 2 и кратные 8 исключены)

A=
 –1 
1
1
1
1
 –1 
1
1
1
1
 –1 
1
1
1
1
 –1 


Поиск элементов блоков обеспечивается переборным алгоритмом, который облегчается, если предположить, что они циклические. Таким способом строится матрица 92 порядка (Baumert, Golomb и Hall, 1962): матрица первой сотни n<100, недостижимая в рамках конструкции Пэли. Позднее Baumert нашел этим методом матрицу 116-го порядка. Баумерт и Холл декларировали блочный массив порядка 12 (по блокам), где каждая строка содержит по три вхождения четырех матриц типа Вильямсона: Baumert Hall Arraw, 1964 (Jennifer).


К настоящему времени неизвестны, например, матрицы порядков 668, 716, 892, 1004, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964.

ТЮРИН | СТАТЬЯ 1981 | СТАТЬЯ 2002 | ЭРИК ТРЕССЛЕР
ТАБЛИЦА 2007: WILLAMSON MATRICES UP TO ORDER 59

Rambler's Top100