КОНФЕРЕНЦ МАТРИЦЫ

Keys: hadamard and conference matrices, maximal determinant problem


MATRIX C4


MATRIX C6


MATRIX C8


MATRIX C10


MATRIX C14


MATRIX C18


MATRIX C26


MATRIX C30


MATRIX C38


MATRIX C42


MATRIX C46


MATRIX C50


MATRIX C54


MATRIX C62


PROBLEM C66


MATRIX C74


PROBLEM C82

Смотрите также: АДАМАРА, ЯКОБСТАЛЯ, ВЗВЕШЕННЫЕ, КАТАЛОГ C-МАТРИЦ

Пропуски между порядками 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... сильвестровой последовательности матриц существенно возрастают. В начале прошлого века Ж. Адамар построил аналогичные матрицы 12-го (а значит, и 24) и 20-го порядков и высказал гипотезу, что решения с элементами ±1 существуют для всех степеней, кратных 4. С тех пор такие матрицы называют адамаровыми. Выделение семейства конференц-матриц связывают с именем В. Белевича.

Определение. Конференц матрицей C называется nxn матрица с нулевой диагональю и остальными элементами ±1, обладающая свойством

С'С=(n–1)I.


Конференц матрицы можно находить в виде матрицы Якобсталя с каймой или в двух-циркулятной форме, в последнем случае кайма не требуется. В этой спаренной форме ищутся и взвешенные матрицы на основе последовательностей Голея. Конференц-матрицы (C-матрицы) связаны с теоремой теории чисел Эйлера: необходимое условие их существования заключается в том, чтобы n–1 было разложимо на сумму двух квадратов. Они заполняют четные пустующие порядки 6, 10, 14, 18, ... сильвестровой последовательности матриц, исключениями являются, например, 22, 34, 58, 70, 78, 94 ….

АЛГОРИТМ ПЭЛИ


Симметричная и кососимметричная C-матрицы строятся дополнением матриц Якобсталя

C=
0
 e' 
e
J
,
C=
0
 e' 
 –e 
J
,



согласно двум основным случаям: n–1=1 (mod 4) или n–1=3 (mod 4), здесь e – вектор из единиц.

РАСЧЕТ C10 НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ ЯКОБСТАЛЯ

ПОЛУЧЕНИЕ МАТРИЦЫ ЯКОБСТАЛЯ ИЗ C26


С асимметричной матрицей Рагхаварао R25 такая симметричная матрица Якобсталя пары не образует, должно быть соблюдено некое соответствие.


ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ


В теории ортогональных или квазиортогональных, как в данном случае, матриц существует практика удаления каймы матрицы. Выделим в рациональной матрице Q удаляемый субблок A четвертого порядка

Q=
A
B
G
D
W=
 w1 
 w2 
 w3 
 w4 
 –w2 
 w1 
 –w4 
 w3 
 –w3 
 w4 
 w1 
 –w2 
 –w4 
 –w3 
 w2 
 w1 



с пересчетом Q=D–G(A–W)–1B параметров матрицы D, имеющим цель сохранить правую часть Q'Q=wI, w=n–1 при итерационном понижения порядка n на 4 вплоть до n=2. Поправка Вильямсона W (det(A–W)≠0) с тем же весом W'W=wI, где w=n–1=w12+w22+w32+w42, взята из теории Лагранжа о разложении числа на сумму четырех квадратов.

Элементарное следствие алгоритма понижения порядка состоит в том, w=n–1 – представимо парой квадратов рациональных, в общем, а значит, и парой квадратов целых чисел, т.к. объект разложения – целое число.

Наличие пропусков в последовательности исследуемых им матриц отмечал Витольд Белевич, указав на отсутствие версий порядков 22, 34 и т.п.., позднее с этой теоремой, матрицей и критериями работали Вильямсон, Раяваро, Зейдель и Ван Линт и др.

1. J. Williamson, “Hadamard’s Determinant Theorem and the Sum of Four Squares.” Duke Math. J., vol. 11, pp. 65-81, 1944.

2. Belevitch, V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony. Electr. Commun., vol. 26 1950. pp. 231–244.

3. Raghavarao, D. (1959). "Some optimum weighing designs". Annals of Mathematical Statistics 30 (2): 295–303.

4. Van Lint, J.H., and Seidel, J.J. (1966), Equilateral point sets in elliptic geometry. Indagationes Mathematicae, vol. 28, pp. 335-348.

ВИТОЛЬД БЕЛЕВИЧ | ГЕТХАЛЬС-ЗЕЙДЕЛЬ | ТАБЛИЦА ДЖЕННИФЕР



БИЦИКЛИЧЕСКИЕ КОНФЕРЕНЦ МАТРИЦЫ



Two circulant Belevitch matrices, conference and weighing matrices




Матрицы C6 и C10



Матрицы C14 и C18



Взвешенная матрица W(22,20)



Матрицы C26 и C30



Взвешенная матрица W(34,32)



Матрицы C38 и C42



Матрица Белевича-Матона С46



Матрицы C50 и C54

ВЗВЕШЕННАЯ МАТРИЦА W(58,53)



Матрица W(58,53), найденная итерациями, и матрица с Cargo.wlu.ca



Матрица C62 и C74



Матрица C82

Rambler's Top100