THE PROBLEM ORDER 66 © Nickolay Balonin 1.05.2014 Conference matrix catalogue and on-line algorithms

QUASI CONFERENCE MATRIX 66 The orthogonal matrix and diagram of absolute values of its entries

The conference matrices (the same like Hadamard matrices) have maximal determinant on the class of orthogonal ones. Take attention that matrix of maximal determinant has the same projection on the orthogonal area that this structure of order n =2*3*11. There are very much reasons, that matrix having entries 0 (on the diagonal), a =1, b =–1, and square of 9c ^{2} –2c –5=0; c =(1±sqrt(46))/9 of the 6 flat-cells, order 11x11, has the maximal determinant among all orthogonal matrices of order 66. In such case C_{66} doesn't exist definitely. Look: vitrages .

Legendre approximations with error: PAF = 2 and 4 (symmetry)

Matrix C66 =[A,B;B',–A'] has block-circulant A, B with circulant cells of size 11, that allow to take in consideration the Legendre symbols L=[-1|1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1] of skew conference matrix C_{12} , the skew approximation has no chance to be a solution, but it provides the minimal C'C=(n –1)I discrepancy 2! Orthogonal construction with "the black-block" A_{2} has to have entries {a =1, –b =–1; c }, c =(1±sqrt(46))/9=0.864703<1. This structure is coincide with a projection of maximal determinant matrix X_{66} onto the orthogonal area and supposedly it has the maximal determinant here (in such case the C_{66} doesn't exist definitely).

// TWO CIRCULANT APPROXIMATIONS n=66, 86
n=66; examples(n);
putm("a=["+a+"];"); putm("b=["+b+"];");
H=twocircul(a,b); // H=ab2a(H);
// Z=eyez(rows(H)); {{ H=Z*H*Z }}
{{I=H'*H}} putm(I); mesh(H);
function examples(n) {
if (n==66) {
if (1) { // w=55.51505
// Две переменные
a=1; b=(16+sqrt(31))/25; // 0.8627105
// 25*b*b-32*a*b+9*a*a=0; w=55.514515114569015
A=[-b,-b,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b,-b,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a,-b];
B=[-b,-b,-b,-b,a,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,a,-b,a,a,-b];
}else{ // w=51.74187 Euler matrix
a=1; t=(n+2)/4; b=t/(t+sqrt(2*t)); // b=0.744603;
A=[a,a,a,a,a,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,-b,-b];
B=[-b,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b,a,-b,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,a];
}
A=circshift(A,26); B=circshift(B,7);
}
if (n==86) { // w=77.71217
// Три переменные
// 18*b*b-20*a*b+4*a*a=0;
// 19*b*b-2*a*c-18*a*b+3*a*a=0; 17*b*b+2*a*c-22*a*b+5*a*a=0;
a=1; b=(5+sqrt(7))/9; c=(41+28*sqrt(7))/162;
// b=0.8495; c=0.7104;
// a=1; b=(5-sqrt(7))/9; c=(41-28*sqrt(7))/162;
// b=0.2616; c=-0.2042;
A=[c,-a,a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a];
B=[-a,-a,-a,b,-a,b,b,b,-a,b,b,-a,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,-a,-a,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,-a,b,b,-a,b,b,b,-a,b,-a,-a];
}
a=equal(A); b=equal(B);
}

THE MULTI-CIRCULANT STRUCTURES Two-circulant and multicirculant conference matrices C_{26}

The C_{6} , C_{26} , C_{46} , C_{66} , C_{86} go with the same distance 20: C_{6} is classical and well known case, C_{26} is the first special case with several solutions, C_{46} has no one- or two-circulant forms (in different to previous cases): the hidden circulant cell solution looks like a critical point of this line of orders. The CORE C26=circul(A,B,C,C',B') has circulant cells: A=diag([0,1,1,1,1]), and B, C based on the set of direct [-1|1,-1,-1,1] and sign-conjugated [-1|-1,1,1,-1] Legendre symbols of C_{6} .

n=26; m=(n-1)/5; I=eye(m); J=ones(m);
L1=legendre(m); L1[0]=-1; {{L2=-L1;}} L2[0]=-1;
puts('Legendre symbols: '+L1);
puts('Sign-conjugated Legendre symbols: '+L2);
{{A=J-I}} B=circul(L1); C=circul(L2);
C26=border(circul(A,B,C,tr(C),tr(B))); {{X=C26'*C26}}
puts('prove: '+X); mesh(C26);
// putm(C26);

APPROXIMATION BY 5x5 STRUCTURE Legendre and numerical approximations with error: PAF = 8

The CORE C66 =circul(A,B,C,C',B') with circulant cells A=diag([0,1,...,1]) and B, C based on the set of direct [-1|1,-1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,-1,1] and sign-conjugated [-1|-1,1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,1,-1] Legendre symbols of C_{14} provides the C'C=(n –1)I discrepancy 8. Take attention, that the symmetry structure has a big distantion to the need result.

n=66; m=(n-1)/5; I=eye(m); J=ones(m);
L1=legendre(m); L1[0]=-1; {{L2=-L1;}} L2[0]=-1;
puts('Legendre symbols: '+L1);
puts('Sign-conjugated Legendre symbols: '+L2);
{{A=J-I}} B=circul(L1); C=circul(L2);
C66=border(circul(A,B,C,tr(C),tr(B))); {{X=C66'*C66}}
puts('prove: '+X); mesh(C66);
// putm(C66);

// SEARCH PROCEDURE
// 26, 66
if (tick==0) {
n=66; v=(n-1)/5; m=(v-2)/2; m1=m+1;
mx=1000; x=1; q=1000;
}
while (q>0) { q=q-1; if (x>0) {
// VERSIONS OF SEQUENCES
// a1=randseq(m); a2=randseq(1);
// a=[0].concat(a1).concat(flip(a1));
a=randseq(v); a[0]=0;
b=randseq(v); c=randseq(v);
d=randseq(v); e=randseq(v);
if (1) {
A=circul(a);
B=circul(b); C=circul(c);
D=circul(d); Eu=circul(e);
D=tr(C); Eu=tr(B); d=D[0]; e=Eu[0];
// H=border(circul(A,B,C,tr(C),tr(B)));
H=border(circul(A,B,C,D,Eu));
x=maxabslsm(H);
}else{
Aa=mulcirc(a,1,m1);
Bb=mulcirc(b,1,m1);
Cc=mulcirc(c,1,m1);
// d=circshift(c,0);
Dd=mulcirc(d,1,m1);
// e=circshift(b,0);
Ee=mulcirc(e,1,m1);
{{Er=Aa+Bb+Cc+Dd+Ee}} x=0;
for (i=1;i<=m1;i++) x+=abs(Er[i]+1);
}
if (x<mx) { mx=x;
A=circul(a);
B=circul(b); C=circul(c);
D=circul(d); Eu=circul(e);
H=border(circul(A,B,C,D,Eu));
}
}}
// {{I=H*H'}} putm(I);
// mesh(HM);
puts("tick="+tick+" err="+mx);
if (x>0) { q=50; restart(1000); }else{
puts("a=["+a+"];"); puts("b=["+b+"];"); puts("c=["+c+"];");
puts("d=["+d+"];"); puts("e=["+e+"];");
{{X=H'*H}} putm(X); plots(H);
}

// SEARCH PROCEDURE
// 26, 66
if (tick==0) {
n=26; v=(n-1)/5; m=(v-2)/2; N=0;
// SET INDEX OF SYMMETRY v1
v1=2; v1=v1-1; v2=v-1-2*v1;
q=1000; // number of iterations
}
while (q>0) { q=q-1;
// VERSIONS OF SEQUENCES
// a=signm(rand(v));
a1=signm(rand(v1)); a2=signm(rand(v2));
a=[0].concat(a1).concat(a2).concat(flip(a1));
// b=signm(rand(v));
b1=signm(rand(v1)); b2=signm(rand(v2));
b=[1].concat(b1).concat(b2).concat(flip(b1));
// c=signm(rand(v));
c1=signm(rand(v1)); c2=signm(rand(v2));
c=[1].concat(c1).concat(c2).concat(flip(c1));
// d=signm(rand(v));
d1=signm(rand(v1)); d2=signm(rand(v2));
d=[1].concat(d1).concat(d2).concat(flip(d1));
// e=signm(rand(v));
e1=signm(rand(v1)); e2=signm(rand(v2));
e=[1].concat(e1).concat(e2).concat(flip(e1));
// a=[0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1];
// b=[1,-1,1,1,1,-1,1,1,-1,1,1,1,-1]; e=equal(b);
// c=[-1,1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,1]; d=equal(c);
x=circshift(a); y=circshift(b);
z=circshift(c); v=circshift(d);
w=circshift(e);
{{x=1+a'*x+b'*y+c'*z+d'*v+w'*e}}
if (abs(x)==0) {
A=circul(a); B=circul(b);
C=circul(c); D=circul(d); Eu=circul(e);
H=border(circul(A,B,C,D,Eu));
x=H[1]; x=mul(H,x); x[1]=0;
x=maxm(absm(x)); if (x==0) q=-100;
}
}
puts(x);
if (q!=-100) {
puts(N); N++; puts('index of symmetry: '+(v1+1));
q=5000; restart(100); }else{
puts('index of symmetry: '+(v1+1)); puts(a); puts(b);
{{X=H'*H}} putm(X); plots(H); // mesh(H);
}
All orders 6, 26, 46, connected with sizes of cores of more little conference matrices, they have multicirculant solutions based on them. In the contrary, we see, that the problem orders 66, 86 (and so on) cannot be resolved by the two-circulant and 5x5 or 6x6 block-circulant matrices. Observed approximations have extremal properties among multi-circulant constructions .

THE WAY THROUGH MAX DET X_{66} Maximal determinant matrix: det(X)=0.816*10^{60}

Hadi Kharaghani (following Young C.H., 1976) constructed a max det matrix of order 66 with 6x6 blocks of order 11 by the Legendre symbols (take a look on construction above).

// HADI KHARAGHANI I
J=jacobsthal(11);
I3=eye(3); I11=eye(11); J3=ones(I3); J11=ones(I11);
R1=add(kron(sub(J3,I3),add(J,I11)),kron(I3,sub(J11,mulp(2,I11))));
R2=add(kron(sub(J3,I3),add(J,I11)),kron(I3,sub(I11,J)));
X=square(R1,R2,mulp(-1,tr(R2)),tr(R1)); mesh(X);
{{I=X'*X}}; puts(I);
This asymmetry matrix (with discrepancy 2!) has a different with C-matrices projection on the orthogonal area

a=1; b=0.864702; c=0; C66=[[c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b],[a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b],[-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b],[a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b],[a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b],[a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b],[-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b],[-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b],[-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b],[a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b],[-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a],[a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a],[-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a],[a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a],[-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a],[-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a],[-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a],[a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a],[a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a],[a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a],[-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a],[a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a],[a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a],[a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a],[-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a],[a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a],[a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a],[a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a],[-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a],[-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a],[-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a],[a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a],[-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a],[a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a],[a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a],[-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a],[a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a],[a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a],[a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a],[-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a],[-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a],[-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a],[a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a],[-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a],[-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a],[a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a],[-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a],[a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a],[a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a],[a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a],[-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a],[-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a],[-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a],[a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a],[-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a],[-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a],[b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a],[b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a],[b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,b,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a],[b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,b,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a,a],[b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,b,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a,-a],[b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,b,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a,-a],[b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,b,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a,-a],[b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,b,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a,a],[b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,b,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,-a],[b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c]]; mesh(C66);

The X_{66} projection on the orthogonal area

// HADI KHARAGHANI II
J=jacobsthal(11);
I3=eye(3); I11=eye(11); J3=ones(I3); J11=ones(I11);
R1=add(kron(add(J,I11),sub(J3,I3)),kron(sub(J11,mulp(2,I11)),I3));
R2=add(kron(add(J,I11),sub(J3,I3)),kron(sub(I11,J),I3));
X=square(R1,R2,mulp(-1,tr(R2)),tr(R1)); mesh(X);
{{I=X'*X}}; puts(I);
also (second method)

a=1; b=0.864702; c=0; C66=[[-a,a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a],[-a,-a,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,-a,c,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a],[a,-a,-a,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,c,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a],[b,-a,-a,-a,a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,-a,a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a],[-a,b,-a,-a,-a,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,a,-a,a,-a,-a,c,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a],[-a,-a,b,a,-a,-a,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,-a,c,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a],[b,a,a,b,-a,-a,-a,a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a],[a,b,a,-a,b,-a,-a,-a,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,c,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a],[a,a,b,-a,-a,b,a,-a,-a,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,a,a,a,-a,c,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a],[b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,-a,a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a],[-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,-a,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,c,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a],[-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,-a,-a,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,c,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a],[b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,-a,a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a],[-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,-a,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,c,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a],[-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,-a,-a,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,c,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a],[b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,-a,a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a],[-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,-a,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,c,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a],[-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,-a,-a,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,c,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a],[b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,-a,a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a],[a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,-a,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,c,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a],[a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,-a,-a,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,c,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a],[b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,-a,a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a],[a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,-a,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,c,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a],[a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,-a,-a,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,c,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a],[b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,-a,a,-a,b,a,a,b,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,c,-a,a,-a,-a,-a,a,a],[a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,-a,a,a,b,a,-a,b,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,c,-a,a,-a,a,-a,a],[a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,-a,-a,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,c,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a],[b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,-a,a,-a,b,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,c,-a,a,-a,-a],[-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,-a,a,a,b,a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,c,-a,a,-a],[-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,-a,-a,a,a,b,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,c,-a,-a,-a,-a,a],[b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,-a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,c,-a],[a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,c],[a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,c,-a,-a],[a,a,c,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,-a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a],[c,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a],[a,c,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b],[-a,a,a,a,a,c,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,b,a,a,-a,-a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a],[a,-a,a,c,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,b,a,a,-a,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a],[a,a,-a,a,c,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,b,-a,a,-a,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b],[a,-a,-a,-a,a,a,a,a,c,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,b,-a,-a,b,a,a,-a,-a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a],[-a,a,-a,a,-a,a,c,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,b,-a,a,b,a,a,-a,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a],[-a,-a,a,a,a,-a,a,c,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,b,a,a,b,-a,a,-a,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b],[-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,c,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,-a,-a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a],[a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,c,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,-a,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a],[a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,a,-a,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b],[-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,c,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,-a,-a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a],[a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,c,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,-a,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a],[a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,a,-a,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b],[-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,c,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,-a,-a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a],[a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,c,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,-a,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a],[a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,a,-a,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b],[a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,c,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,-a,-a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a],[-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,c,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,-a,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a],[-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,a,-a,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b],[a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,c,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,-a,-a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a],[-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,c,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,-a,-a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a],[-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,a,-a,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b],[a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,c,a,-a,-a,-a,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,-a,-a,a,b,-a,-a,b,a,a],[-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,c,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,-a,-a,-a,b,-a,a,b,a],[-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,a,-a,-a,-a,b,a,a,b],[-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,c,a,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,-a,-a,a,b,-a,-a],[a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,c,a,a,-a,a,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,-a,-a,-a,b,-a],[a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,a,-a,-a,a,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,a,-a,-a,-a,b],[a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,a,c,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,-a,-a,a],[-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,c,a,a,-a,b,-a,a,b,a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,a,b,a,a,b,a,a,b,a,-a,b,-a,a,b,a,a,-a,-a],[-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,c,a,-a,-a,b,a,a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,-a,-a,b,a,a,b,a,a,b,a,a,b,-a,-a,b,a,a,b,-a,a,-a]]; mesh(C66);

The second X_{66} projection on the orthogonal area YANG C.H. 1976 | HADI'S PAPER | J. SEBERRY | TABLE OF MAX DET

THE SYLVESTER LINE OF CONFERENCE MATRICES

The finite Sylvester Line of orders n =2^{k} +2 includes matrices C_{6} , C_{10} , C_{18} (order 34 stay on the way to the order 66) that have two borders and four blocks CORE [A B; B' –A']. Recursive formulae A=[A B;B' A'], where B is one or two circulant matrix, the latest version it is based on the two flip-inversed sequences B1=circul(g), B2=circul(flip(-g)), B=[B1 B2; circshiftback(B2) B1].

Conference matrices C_{10} and C_{18}

Balonin-Sebbery construction of Maton's type CORE C46=circul(A,B,C,C',B') has a rich cell-structure: A is a circulant matrix of circulant cells (1-type), B is a circulant matrix of back-circulant cells (2-type), C is a cross-matrix (0-type), the core of order n =q ^{2} (q +2), where q +2 is order of a core, q =3.

ILLUSTRATIONS TO THE PAPER | HIDDEN CIRCULANT CELLS

C=border(bsCore());
// OUTPUT (DRAW MATRIX)
{{"C46.xml"=C}} plot("../files/C46.xml:C");
// PROVE
{{X=C'*C}} puts(X);
function bsCore() {
// BALONIN-SEBERRY MATRIX
var a,b,c,A,B,C; // Paley symbols
a=[0,1,1]; b=[-1,-1,1]; c=[-1,1,-1]; A=circul(a,b,c);
a=[1,1,-1]; b=[-1,1,1]; c=[1,-1,1]; // inversed
B=circul(circulback(a),circulback(b),circulback(c));
a=[1,-1,-1]; C=crossmatrix(a);
return circul(A,B,C,tr(C),tr(B));
}
Such solutions becoming be imposible after the critical point with observed hidden circulant cells: inner permutations allow to reach a principal bound.

// SEARCH PROCEDURE
// 26, 66
if (tick==0) {
n=26; v=(n-1)/5; v1=(v-1)/2;
q=500; // number of iterations
max=1000000; HM=0;
}
while (q>0) { q=q-1;
// VERSIONS OF SEQUENCES
// a=signm(rand(v));
a1=signm(rand(v1));
a=[0].concat(a1).concat(flip(a1));
b=signm(rand(v));
// {{c=-b}} c[0]=-c[0];
c=signm(rand(v));
// d=signm(rand(v));
// e=signm(rand(v));
// a=[0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1];
// b=[1,-1,1,1,1,-1,1,1,-1,1,1,1,-1]; e=equal(b);
// c=[-1,1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,1]; d=equal(c);
A=circ(a);
B=circul(b); //B=flip(B);
C=circul(c); //C=flip(C);
// D=circul(d); Eu=circul(e);
H=border(circul(A,B,C,tr(C),tr(B)));
x=maxabslsm(H);
if (x<max) { if (x==0) q=-100;
HM=equal(H); max=x;
}
}
puts("tick="+tick+"; max="+max); mesh(HM);
if (q!=-100) { restart(100); }else{
puts('max='+max); puts(a); puts(b);
{{X=H'*H}} putm(X); plots(H); // mesh(H);
}

ВАРИАТОР

n=66; m=(n-1)/5; I=eye(m); J=ones(m);
L1=legendre(m); L1[0]=-1; {{L2=-L1;}} L2[0]=-1;
puts('Legendre symbols: '+L1);
puts('Sign-conjugated Legendre symbols: '+L2);
{{A=J-I}} B=circul(L1); C=circul(L2);
for (i=0;i<4;i++)
for (j=0;j<4;j++) {
for (k=2;k<12;k=k+4)
A[(i+k-2)%13][(j+k-2)%13]=-A[(i+k-2)%13][(j+k-2)%13];}
C66=border(circul(A,B,C,tr(C),tr(B)));
{{X=C66'*C66}} mesh(C66);
// putm(C66);
putm(X);