EULER MATRIX CATALOGUE



© Nickolay Balonin, 6.05.2014




Euler matrices E6 and E10



Euler matrices E14 and E18



Euler matrices E22 and E26



Euler matrices E30 and E34



Euler matrices E38 and E42



Euler matrices E46 and E50



Euler matrices E54 and E58



Euler matrices E62 and E66



Euler matrices E70 and E74



Euler matrices E78 and E82



Euler matrices E86 and E90



Euler matrices E94 and E98

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ БИЦИКЛОВ


В отличие от циклических матриц, для описания которых годится SBIBD(n,k,λ), бициклы описываются SDS(n=2v;k1,k2;λ) – "парным" дифференциальным набором. За основу параметров SDS берутся расчеты количеств для тех элементы (1 или –1), которых меньше.

Параметры SDS связаны соотношением λ(v–1)=k1(k1–1)+k2(k2–1), где k1, k2 – число элементов одного знака пары бинарных векторов размера v=n/2, задающих бицик, а λ – общее число попарно совпадающих (пересекающихся) элементов первой и второй строк бицикла. Выбором переменных, оно сводится к уравнению круга, разрешимого в целых числах, и сказывается на уравнении для уровней, разрешимого в вещественных и иррациональных числах.

Уравнение круга x2+y2=p+λ(v–2p) для элементов x, y параметров SDS r=px=k1, s=py=k2, p=k1+k2–λ, задает достижимое целочисленное решение. Для всех матриц Эйлера x=y=1 круг с квадратом радиуса p+λ(v–2p)=2 разрешим при целых v=n/2=2p–1, λ=p–2.

Условие ортогональности строк (столбцов) бицикла с элементами a, –b при превалировании элементов a=1 имеет вид (n–2(k1+k2)+λ)a2–2(k1+k2–λ)abb2=0. Для матриц Эйлера k1=k2=p–1, p=k1+k2–λ=(n+2)/4. Корни a=(p±sqrt(p2–(n–2p–λ)λ))b/(n–2p–λ) уравнения (n–2p–λ)a2–2pabb2=0. Из a=(p±sqrt(2p))b/p=1 (с учетом λ=p–2, (n–2p–λ)=p, где p=t при n=4t–2) получаем амплитуду отрицательных элементов b=t/(t±sqrt(2t)).

На порядке 38 матрица Эйлера имеет SDS(38;9,9;8), соответственно p=10, x=1, y=1. Уравнение x2+y2=p+λ(v–2p)=2 разрешимо при v=19<2p=20. Ортогонализованная матрица максимума детерминанта имеет SDS(38;6,7;4), у нее превалируют отрицательные элементы, соответственно p=9, x=3, y=2. Уравнение x2+y2=p+λ(v–2p)=13 разрешимо при v=19>2p=18. Похоже, что у проекций матриц абсолютного максимума детерминанта условие ортогональности сводится к требованию v>2p, для матриц Эйлера v<2p, для матриц Адамара v=2p!

EULER MATRIX TABLE


Константы, расчет которых проще проверки ортогональности пары бицикла, составляют основу ее поиска проверкой PSD-теста (2).

АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ ДЕТЕРМИНАНТА


Матрицы Эйлера и Адамара связаны, как бицикл и ядро матрицы с двойной каймой. Поскольку матрицы Адамара отличает глобальный максимум детерминанта, матрицы Эйлера выгодно искать опосредованно, через матрицы Адамара.

Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационно-управляющие системы. 2014. № 1. С. 2–15.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. О значении матриц начального приближения в алгоритме поиска обобщенных взвешенных матриц глобального и локального максимума детерминанта. // Информационно-управляющие системы. 2015. № 6. С. 2–9 (описание алгоритма)

РАСЧЕТ СИМВОЛАМИ ЛЕЖАНДРА


Матрица Эйлера как ядро бициклической матрицы Адамара с двойной каймой, порядок клетки бицикла v=(n–2)/2 – простое число (матрицы сопровождают список простых чисел). Это путь конструирования матрицы из матрицы Мерсенна или Зейделя вдвое меньших размеров.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В ПОЛЕ ГАЛУА


Это восходящий к идее Секейреша путь конструирования бицикла размера n из пар комплементарных последовательностей, процедура использует точки пересечения орбиты xk с ее же значениями, смещенными на ±1 в поле GF(q): q=n+1=pm.

Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы Мерсенна и Адамара // Информационно-управляющие системы. 2016. № 1. С. 2–15.
Balonin N. A., Djocovich D. Z. Negaperiodic Golay pairs and Hadamard matrices. // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2015, no. 5, pp. 2–17. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.5.2 (негациклические бициклы)

МЕТОД ОРБИТ


Орбиты, это масштабированная множителями показательная функция xk в конечном поле Галуа или мультипликативном кольце Zv. Метод орбит использует факторизацию строк индексов элементов на общую подгруппу xk и множители o1, o2 в контексте кронекеровых произведений a=x⊗o1, b=x⊗o2.

EULER MATRIX SDS

АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА В GF


Euler matrices, E, order n=2m=4t+2, constructed with two square blocks A, B with levels a=1, –b; a=1, b=t/(t+sqrt(2t)), t=(n+2)/4.

Determinant det(E)<det(C), not so critical, so they exist for all interesting for us special orders: 22, 34, 46!, 58, 66!, 70, 78, 86!, 94, ... having a simple two-circulant structure: look the catalogue of two-circulant Euler matrices of orders n<100 below.

EULER MATRIX LEVEL b

*) See the conjecture 1 Kotsireas, Koukouvinos, Seberry, 2005 also, it commented by big set of samples calculated by generalised Legendre pairs: Fletcher, Gysin, Seberry, 2001.

N. A. Balonin, Jennifer Seberry A Review and New Symmetric Conference Matrices //Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2014, № 4 (71), pp. 2–7.

MERSENNE MATRICES CATALOGUE | | HADAMARD MATRICES CATALOGUE


IN ENGLISH

1. Balonin N. A., Seberry, Jennifer. Remarks on extremal and maximum determinant matrices with moduli of real entries ≤ 1 // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2014, № 5 (71), pp. 2–4.
2. Balonin N. A., Vostricov A.A., Sergeev M.B. Two-circulant golden ratio matrices // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2014, № 5 (71), pp. 5–11.
3. N. A. Balonin, Jennifer Seberry. A Review and New Symmetric Conference Matrices // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2014, № 4 (71), pp. 2–7.
4. Balonin N. A. , Seberry, Jennifer. Visualizing Hadamard Matrices: the Propus Construction // Australasian Journal of Combinatorics (submitted 6 Aug 2014).
5. Сергеев А. М. Обобщенные матрицы Мерсенна и гипотеза Балонина // Автоматика и вычислительная техника. 2014. № 4. С. 35–43. (in English | Springer)

IN RUSSIAN

1. Балонин Н. А., Мироновский Л. А. Матрицы Адамара нечетного порядка // Информационно-управляющие системы. 2006, № 3. C. 46–50.
2. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. М-матрицы // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 14–21.
3. Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Мироновский Л. А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5. С. 92–94.
4. Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Мироновский Л. А. Вычисление матриц Адамара-Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6. С. 90–93.
5. Балонин Н. А., Сергеев М.Б. О двух способах построения матриц Адамара-Эйлера // Информационно-управляющие системы. 2013. № 1. С. 7–10.
6. Балонин Н. А. О существовании матриц Мерсенна 11-го и 19-го порядков // Информационно-управляющие системы. 2013. № 2. С. 90–91.
7. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. М-матрицы и кристаллические структуры // Вестник Магнитогорского государственного технического университета им. Г.И. Носова. 2013. № 3. С. 58–62.
8. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. К вопросу существования матриц Адамара и Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5. С. 2–8.
9. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Взвешенная конференц-матрица, обобщающая матрицу Белевича на 22-м порядке // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5. С. 97–98.
10. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрица золотого сечения G10 // Информационно-управляющие системы. 2013. № 6. С. 2–5.
11. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационно-управляющие системы. 2014. № 1. С. 2–15.
12. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Двуциклическая М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2014. № 2. С. 109–111.
13. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Нормы обобщенных матриц Адамара // Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 2. С. 5–11.
14. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. О расширении ортогонального базиса в задачах сжатия видеоизображений // Вестник компьютерных и информационных технологий (ВКИТ) 2014. № 2. С. 11–15.
15. Балонин Н. А., Балонин Ю. Н., Сергеев М. Б. Вычисление матриц Мерсенна и Адамара методом Скарпи // Вестник информационных технологий, механики и оптики. 2014. № 3. С. 104–112.
16. Балонин Н. А., Балонин Ю. Н., Востриков А. А., Сергеев М. Б. Вычисление матриц Мерсенна-Уолша // Вестник компьютерных и информационных технологий (ВКИТ) 2014. № X. С. 51–55.
17. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Вычисление матриц Мерсенна методом Пэли. Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2014. № 10. С. 38–41.

Rambler's Top100