ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА-ФЕРМА

© Nickolay A. Balonin, 27.03.2015


Одна из великих теорем теории чисел связана с заменой в уравнении для триады чисел Пифагора (пифагоровы тройки) квадратичной зависимости, типичной для уравнения круга, на линейную в левой части с получением диофантова уравнения

p = x2 + y2.


Еще Жирар и, позднее, Ферма заметили, что любое натуральное число представляется суммой (не более, чем) четырех квадратов целых чисел. В 1749 году, после семи лет работы и почти через сто лет после смерти Ферма, Эйлеру удалось доказать теорему о простых числах, согласно которой разложение числа p на сумму квадратов всегда возможно для чисел 4t+1. Ни одно число вида 4t+3 не представимо в виде суммы двух квадратов.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ БИЦИКЛОВ


В отличие от циклических матриц, для описания которых годится SBIBD(n,k,λ), бициклы описываются SDS(n=2v;k1,k2;λ) – "парным" дифференциальным набором. За основу параметров SDS берутся расчеты количеств для тех элементы (1 или –1), которых меньше.

Параметры SDS связаны соотношением λ(v–1)=k1(k1–1)+k2(k2–1), где k1, k2 – число элементов одного знака пары бинарных векторов размера v, задающих бицик, а λ – общее число попарно совпадающих (пересекающихся) элементов первой и второй строк бицикла. Выбором переменных, оно сводится к уравнению круга, разрешимого в целых числах, и сказывается на уравнении для уровней, разрешимого в вещественных и иррациональных числах.

Уравнение круга x2+y2=p+λ(v–2p) для элементов x, y параметров SDS r=px=k1, s=py=k2, p=k1+k2–λ, задает достижимое целочисленное решение.

Условие ортогональности строк (столбцов) бицикла с элементами a, –b при превалировании элементов a=1 имеет вид (n–2(k1+k2)+λ)a2–2(k1+k2–λ)abb2=0. Для матриц Эйлера k1=k2=p–1, p=k1+k2–λ=(n+2)/4. Корни a=(p±sqrt(p2–(n–2p–λ)λ))b/(n–2p–λ) уравнения (n–2p–λ)a2–2pabb2=0. Из a=(p±sqrt(2p))b/p=1 (с учетом λ=p–2, (n–2p–λ)=p, где p=t при n=4t–2) получаем амплитуду отрицательных элементов b=t/(t±sqrt(2t)).

ИЛЛЮСТРАЦИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ МАТРИЦАМИ


Для матриц Адамара уравнение круга упрощается до x2+y2=n/4, при p=n/4=x+y+λ. Разности (суммы) r=px=λ+x, s=py=λ+y описывают число 1 или –1 матриц бицикла (проверьте, по картинкам), λ – четвертый параметр (число сходных элементов в двух соседних строках) популярной характеристики бинарных матриц в форме SDS(v=2p; r,s; λ).

Представление ортогональных массивов (матриц Адамара) матрицами является специфической иллюстрацией теоремы Эйлера-Ферма для чисел p=n/4=x2+y2 (буквальная визуализация представления матрицы двумя квадратами). .



Бициклические матрицы порядков n=20 и 52: p=5 и 13


Для p=n/4=1 (mod 4) иллюстрация работает без осложнений, для p=n/4=3 (mod 4) факт существования разложения и SDS(v=2p; r,s; λ) соотносится с блоками более сложных орнаментов, например, для n=36, p=n/4=9=32+02, при λ=6 имеем r=px=λ+x=9, s=py=λ+y=6. Это касается орнаментов регулярных матриц (в частности, матриц Буша). Характерно, что элементарным расширением порядка 4*36=144 такая конструкция переводится в разряд бициклов.



Матрица порядка 36 с блоками {18,9,6,6} и матрица 144


Помимо дихотомичных регулярных матриц Адамара типа Буша (Bush type), которых известно всего три порядков 4p2=36, 100, не известен 196, 324, в рассмотрение можно ввести регулярные матрицы с каймой. Они легко строятся для 4p2=36, 100, 196, 324 и т.п. Для порядка 36 параметры λ=6, r=λ+x=9, s=λ+y=6 отвечают квадратному блоку A и прямоугольному B !


Кроме того, многоклеточное сооружение "рассасывается" до бицикла при увеличении размера. Коэффициент увеличения, взаимно простой с p, должен превышать p (Арасу, Янг [1]). Для p=3 увеличение 3 не работает (бицикла 108 нет), нужен коэффициент 4. Например, p=3, 4p2=36, 4>3, бицикл 4*36=144; p=7, 4p2=4*49=196, 8>7, бицикл 8*196=1568 !

Аналогичные упрощения структуры наблюдаются при переходе от сложных по форме матриц Белевича, например, типа Матона порядка 46, к относительно просто выглядящей четырехблочной матрице Адамара удвоенного порядка 92.

Иллюстрация имеет значение для предсказания факта существования матриц, в частности, бициклов. Так, пока не найдена, но должна существовать такая бициклическая матрица порядка 212, поскольку p=53 = 1 (mod 4). Матрица – сложнее числа в том смысле, что при знании ее параметров (числа 1 или –1), нам еще нужно найти сам узор – конкретную реализацию. Узор матрицы, это застывшая визуализация алгоритма разложения, то же самое, что и костяшки счет, иллюстрирующих суммирование.




1. Балонин Н. А., Джокович Д. Ж. Симметрия двуциклических матриц Адамара и периодические пары Голея. // Информационно-управляющие системы. 2015. № 3. С. 2–16.
2. Dragomir Z. Djokovic, Cyclic (v; r, s; λ) difference families with two base blocks and v ≤ 50. Ann. Comb. 15 (2011), no. 2, 233–254.
3. Dragomir Z. Djokovic, Note on periodic complementary sets of binary sequences, Des. Codes, Cryptogr. 13 (1998), 251–256.



НЕКОТОРЫЕ ДИАГРАММЫ


EULER MATRIX LEVEL b

D-OPTIMAL MATRIX LEVEL b



Обратим внимание на разницу уровней ортогональных бициклов: у матриц Эйлера отрицательный уровень –b описывается функцией, он предсказуем. SDS(n=2v;k1,k2;λ) имеет непредсказуемые, в общем, параметры, но их сочетание гарантирует определенное значение уровня.

Совсем не так себя ведут ортогонализованные матрицы абсолютного максимума детерминанта. Их уровень не предсказуем (это не семейство, а семейства матриц), можно выделить две подпоследовательностей четных порядков – явно выделена последовательность порядков n=2(q2+q+1)=6, 14, 26, 42, 62, 86, 114, ... q2=k1+k2=k, k1=q(q–1)/2, k2=q(q+1)/2.

На порядке 38 матрица Эйлера имеет SDS(38;9,9;8), соответственно p=10, x=1, y=1. Уравнение x2+y2=p+λ(v–2p)=2 разрешимо при v=19<2p=20. Ортогонализованная матрица максимума детерминанта имеет SDS(38;6,7;4), у нее превалируют отрицательные элементы, соответственно p=9, x=3, y=2. Уравнение x2+y2=p+λ(v–2p)=13 разрешимо при v=19>2p=18.

Похоже, что у проекций матриц абсолютного максимума детерминанта условие ортогональности сводится к требованию v>2p, для матриц Эйлера v<2p, для матриц Адамара v=2p!

RYZER HERBERT JOHN AND MARSHAL HALL IN RUSSIAN


Райзер Г. Дж. Комбинаторная математика. / Пер. с англ. Пер. Рыбникова К.А. –М.: Мир, 1965. 154 с. [PDF]

Холл М. Комбинаторика. / Пер. с англ. под ред. Гельфонда А.О., Тараканова В.Е. –М.: Мир, 1970. 448 с. [djvu]

Холл М. Комбинаторика. / Пер. с англ. под ред. Гельфонда А.О., Тараканова В.Е. –М.: Мир, 1970. 448 с. [pdf]

WILLIAMSON MATRICES | SKEW HADAMARD MATRICES
TWO-CIRCULANT C-MATRICES


ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ


Источником сведений о теореме является письмо Ферма Мерсенну с датой, приходящейся на рождество, поэтому эту теорему называют еще рождественской теоремой Эйлера-Ферма. Позднее результат развил Лагранж – теоремой о сумме четырех квадратов. Описание чисел простыми составляющими мультипликативно: любое число с точностью до перестановок представляет собой произведение простых чисел. Изучение сумм объективно затруднено. Гипотеза Гольдбаха: каждое четное число есть сумма двух простых z = x + y, не доказана до сих пор. Например: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, ...

Простое натуральное число вида 4t+1 можно представить как произведение сопряженных простых гауссовых чисел (x+yi)(xyi) или, что то же самое, как сумму квадратов x2 + y2 (причем единственным способом). Целые комплексные числа вида (x+yω), где ω=(–1+isqrt(3))/2, называются также числами Эйзенштейна (и Эйлера). Исследования Гаусса положили начала алгебраической теории чисел. Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа.

В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число. Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел.

Число, содержащее в своем разложении лишь четные степени 4t+3, может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Если отбросить заведомо не представимые суммой двух квадратов числа, то это 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, ... Известны сложные схемы решения этой задачи, принадлежащие Лежандру, Гауссу, Серру и Якобсталю. К.Ф. Гаусс (1777–1855) доказал, что в виде суммы квадратов трех целых чисел представимы все натуральные числа, кроме чисел вида 4m(8n+7), где m, n — целые неотрицательные числа.

СУММЫ КВАДРАТОВ, ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА-ФЕРМА


Rambler's Top100