МАТРИЦА ГЕТХАЛЬСА-ЗЕЙДЕЛЯ

W=
A
B
C
D
 –B 
A
 –D 
C
 –C 
D
A
 –B 
 –D 
 –C 
B
A
G=
A
 BR 
 CR 
 DR 
 –BR 
A
 D'R 
 –C'R 
 –CR 
 –D'R 
A
 B'R 
 –DR 
 C'R 
 –B'R 
A


© Nickolay A. Balonin, Dragomir Z. Djokovic, 22.04.2015

Hadamard-type matrix catalogue and on-line algorithms




Два типа симметрии негациклических массивов Гетхальса-Зейделя, n=28


Массив Вильямсона W – по сути своей – пара бициклических (бинегациклических) конференц матриц с замещенными диагоналями. И то, и то обходится симметричными клетками, что упрощает внешний вид массива. Конструкция несколько искусственная, уже на порядке 35 матриц Вильямсона, клеток A, B, C, D, полный компьютерный перебор подтвердил отсутствие решения (Dragomir Djokovic). Между тем, оно существует в виде массива Гетхальса-Зейделя (Goethals and Seidel) для двух типов симметрии. В полях Галуа реализуемы осцилляторы, дающие, как минимум, два типа симметрии: кососимметричная A (аналог симметрии синуса) и симметричная A (аналог симметрии косинуса). Первый тип характерен для матриц вида 1N, но поскольку есть еще три клетки, возникает возможность их перегруппировки. Тип генератора ниже можно выбрать.

GOETHAL SEIDEL ARRAY: GALOIS FIELD PROCEDURE

GOETHAL SEIDEL ARRAY: NUMERICAL PROCEDURES



Массив Гетхальса-Зейделя порядка 140 (m=35)


Симметричные циклические матрицы массива Вильямсона подбираются из условия ортогональности столбцов массива: A2+B2+C2+D2=4wI, w – порядок матриц Вильямсона. Аналогичное условие для массива Гетхальса-Зейделя: AA'+BB'+CC'+DD'=4wI, R – матрица флипа (обратная диагональной). С симметричными блоками оба типа конструкций W и G тождественны друг-другу, различие касается несимметричных матриц.



Матрицы Вильямсона неизвестны для порядков 35, 155, 171, 203, 227, 291, 323, 371, 395, 467, 483, 563, 587, 603, 635, 771, 875, 915, 923, 963, 1131, 1307, 1331, 1355, 1467, 1523, 1595, 1643, 1691, 1715, 1803, 1923, 1971, согласно изысканиям Тсиа и Себерри.

ПРИМЕР РАСЧЕТА МАТРИЦЫ ПОРЯДКА 44


Тюрин предложил к этой идее разложение матриц Гетхальса-Зейделя в базисе из четырех матриц c элементами {0, ±1}, построенных при помощи T-последовательностей, ненулевые части которых получены попарным сложением и вычитанием базовых последовательностей. Базовые последовательности строятся, в свою очередь, объединением четырех последовательностей Тюрина порядков n, n, n, n–1, так что порядок матриц Адамара равен 4(3n−1). Тюрин рассмотрел случаи n = 4, 6, 8, компьютерный поиск (Kounias, Sotirakoglou) добавил n = 26, 28, 30, 32, 34. Для того, чтобы не заниматься полным перебором, из ограничений на вид последовательностей извлекается часть их предположительных элементов, что и дало нужный результат Хади с соавторами для n = 36 (матрица 428-го порядка). Альтернатива: Cooper and Wallis (1972). Из ограничений используется то, что автокорреляционная функция первой базовой последовательности апериодическая, т.е. имеет протяженный нулевой хвост, кроме того, подправляемые претендентные фрагменты кода генерируются по корням из –1 (дань дальнего родства разложениям функций по базису Фурье).


ЧЕТЫРЕ КВАТЕРНИОНА МАТРИЦЫ ГЕТХАЛЬСА-ЗЕЙДЕЛЯ


Из сумм кватернионов T1, T2, T3, T4 состоят четыре блока A, B, C, D матрицы Гетхальса-Зейделя, слагающие матрицу Адамара H44. Синие элементы матричных портретов – это нули.




ПРИМЕР АППРОКСИМАЦИИ МАТРИЦАМИ МЕРСЕННА


Массив Гетхальса-Зейделя может использоваться для вычисления аппроксимаций матриц Адамара четверкой матриц Мерсенна A, B, C, D, коэффициенты B, C, D сведены к {1,–1}. Очевидно, этот способ годится также для варьируемой четырехуровневой аппроксимации матриц Адамара. Возникет также чисто теоретический вопрос у существовании для матриц Мерсенна комплиментарных матриц, способных порождать матрицы Адамара. Для малых порядков такие матрицы находятся итерациями оптимизации детерминанта.


КОМПЛИМЕНТАРНАЯ ПАРА ДЛЯ МАТРИЦЫ МЕРСЕННА




Матрица Мерсенна M7 и комплиментарная ей матрица


Литература

Goethals, J.M., and Seidel, J.J. (1967), Orthogonal matrices with zero diagonal. Canadian Journal of Mathematics, vol. 19, pp. 1001–1010.

ТЮРИН | ГОЛЕЙ | КУКУВИНОС | БАЗОВЫЕ | ХАДИ

Rambler's Top100