МАТРИЦЫ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Golden Ratio Matrices: matrix models of quasicrystals

© Nickolay A. Balonin, 22.04.2015



Golden Ratio Matrix with level g=0.618..


Мало известный факт, что матрица Зейделя размера 5, имеет еще одно решение в форме бицикла с параметрами [b, a, –b, –b, a], [–a, a, b, b, a], бицикл образует квазиортогональную матрицу размера 10 с уровнями a=1, –b; b=g=0.618.., 1/g=1.618...


Если не увеличивать порядок матрицы 5, с золотым сечением связана матрица Зейделя с уровнями a=1, –b и c на диагонали; b=2–(1+sqrt(5))/2=1–g=0.382.., c=g/2=0.618.../2=0.309..



ЧИСЛА В ПРИРОДЕ | ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ | ЧИСЛА В ГЕНЕТИКЕ


ЧТО ОБЩЕГО У МАТРИЦ И КРИСТАЛЛОВ



Матрицы Seidel 5 и Max Det A5


У матриц с экстремальными свойствами, например, с максимальным значением детерминанта, тоже есть это качество – "кристаллизовываться". Достаточно взглянуть на работу итерационного алгоритма "выращивания" матрицы, например, пятого порядка (можно менять). Перед нами, можно сказать, цифровая модель тигля.

Полученная в примере матрица имеет максимальный на классе квазиортогональных матриц детерминант, уровни гистограммы модулей ее элементов соотносимы друг с другом как 6:3:2 (напоминает состав включения в хатыркит Al63Cu24Fe13). Порядок здесь играет, очевидно, большую роль.



Ho-Mg-Zn квазикристалл и хатыркит


Матрицы локального максимума детерминанта являются решениями задачи о "плотной упаковке" в том смысле, что эти многомерные тела занимают некоторый минимальный или локально минимальный объем, оцениваемый детерминантом матрицы. В двумерном случае, элементы матрицы – координаты крестовины, повернутой так, чтобы объемлющий ее квадрат был минимален. В трехмерном – роль крестовины играет октаэдр, а роль квадрата – куб минимального объема. Задача – найти самый малый по размерам сарай, в котором поместится противотанковый еж. Матрица золотого сечения G, при большем "давлении" на нее оптимизируещего детерминант алгоритма, переходит в матрицу Зейделя 5 или Белевича 10.

Природа только тем и занимается, что заталкивает ежей (атомы) в сараи. Этому направлению мысли отвечает сходное, когда абсолютный минимум энергии устойчивой связи ищется в кристаллической форме. Как правило, с одним и тем же порядком связаны несколько матриц, в том числе, с иррациональными элементами (найти которые сложно). Содержание "запрета" на локально-оптимальные формы состоит в том, что они менее устойчивы (раз уж есть абсолютные минимумы). Как менее устойчива выемка на склоне впадины, в ней сложнее осесть. Квазикристаллы получают в экстремальных условиях, например, быстрым охлаждением: цель – не дать перейти в более оптимальное состояние, пример с уровнями 6:3:2 ниже.

Гипотеза. Каждому квазикристаллу отвечает асоциированная с ним квазиортогональная матрица, квазикристаллу Дана Шехтмана отвечает матрица золотого сечения. Матрицы локального оптимума детерминанта имеют на каждом порядке разнообразие решений, характеризуемых уровнями – значениями элементов. Известны квазикристаллы с осями симметрии 5-го, 8-го, 10-го и 12-го порядков. Разумеется, корень из 5 ничем не выделен, по сравнению с другими иррациональностями. Но выделены начальные числа, вспомним, хотя бы, порядок Райзера (4, максимум, для циклической матрицы Адамара), порядки Баркера (до 11), химическая таблица элементов жмется к началу числовой оси. Золотое сечение находится, можно сказать, в "гуще событий".

Почему, в этой связи, матрицы золотого сечения так интересны? В плитки Пероуза, как в модели, уже все отыграли, а вот матрицы с иррациональными уровнями – сравнительно новый объект. Для их нахождения используется алгоритм "утряски" детерминанта, модель процессов со сплавами в тигле. Помимо матриц 5 и 10 порядков с золотым сечением, есть и другие матрицы небольших порядков (см. матрицу Пифагора), с другими иррациональными числами-уровнями, возможно, отвечающими свойствам существующей линейки квазикристаллов.

С 1984 года в лабораториях было получено более 100 различных квазикристаллов, но считалось, что в природе образование таких веществ просто невозможно, поскольку структура крайне нестабильна. Природный образец на основе Al63Cu24Fe13 нашел в русском музее Стейнхардт (найден российским геологом Валерием Крячко на Корякском нагорье), куда он попал из окрестностей Анадыря, где встречается хатыркит.

Хатыркит – природный немагнитный металлический минерал, содержащий примерно 25 % меди, 25 % цинка и 50 % алюминия. В образце были обнаружены совсем крохотные – около 100 микрометров в диаметре – включения другого минерала. Его состав – 63 % алюминия, 24 % меди и 13 % железа – оказался очень близок к одному из наиболее известных и хорошо изученных квазикристаллов, открытых в 1987 году японской группой под руководством Ань Пан Цай.

Необычное строение приводит к тому, что квазикристалл является чем-то средним между аморфным и кристаллическим состоянием. Квазикристаллы прочные, коррозионно стойкие, но хрупкие. Правда, при локальном нагружении квазикристаллы демонстрировать некоторую пластичность, что обуславливается фазовым переходом квазикристалл – кристаллическая фаза, происходящим при нагружении. Электросопротивление квазикристаллов аномально велико при низких температурах и понижается с ростом температур, хотя они являются сплавами металлов. Электросопротивление металлов наоборот увеличивается при повышении температуры.

Кристаллы обладают дальним порядком двух типов, ориентационным и трансляционным. Трансляционный порядок означает возможность построить кристаллическую структуру путем трансляций элементарного строительного блока структуры с определенным расположением атомов на некоторый вектор элементарной ячейки кристалла. В таком случае говорят о существовании дальнего порядка в кристалле. Ориентационный порядок означает, что поворот кристалла вокруг определенной оси совмещает атомные позиции с самими собой. Кристаллы могут иметь вращательную симметрию третьего, четвертого или шестого порядка. Паркет Пенроуза не является периодическим замощением, так как не переходит в себя ни при каких сдвигах. Однако в нем существует определенный порядок, так как любая конечная часть этого замощения встречается во всем замощении бесчисленное множество раз. Замощение обладает осью пятого порядка, то есть переходит в себя при повороте на угол 72° вокруг некоторой точки.

Запрещенные в кристаллографии симметрии 5-го, 7-го и других порядков являются самыми распространенными в живой природе. Можно сказать, что существует переходное звено между камнем и растением, обладающее общей симметрией. Поворотная симметрия 5-го порядка (угол 72°) наиболее эффективно представлена в мире растений и в простейших живых организмах, в частности в некоторых разновидностях вирусов и организмах некоторых обитателей морей (морские звезды, морские ежи, колонии зеленых водорослей, радиолярии и др.). Поворотная симметрия 5-го порядка характерна для многих полевых цветов (зверобоя, незабудки, колокольчика и др.), для цветов плодово-ягодных растений (малины, калины, рябины, шиповника и др.), для цветов плодовых деревьев (вишни, груши, яблони, мандарина и др.). Чешуйки у еловой шишки, зерна у подсолнуха или ячейки у ананаса также образуют некоторое квазирегулярное покрытие поверхности, в котором соседние ячейки организуются в хорошо различимые спирали.



В кристаллах можно выделить маленький параллелепипед микроскопических размеров, нанометровых размеров, который бесконечно много или очень много раз, фактически бесконечно много раз повторяется в трех измерениях и этим повторением заполняет полностью пространство. Таким образом, структура кристалла может полностью быть описана структурой, положением атомов и размерами этого маленького «ящичка». В квазикристаллах этого нет. В квазикристаллах очень причудливое заполнение пространства, на самом деле там две или три элементарных ячейки, два или три типа элементарных ячеек, которые причудливым образом друг с другом комбинируются, не производя трансляционной периодичности. Тем не менее структура обладает дальним порядком. Дифракционная картина, то есть рассеяние рентгеновского луча структурой квазикристалла, будет состоять из четких, острых, строго определенно расположенных пятен. Точно так же, как в случае кристалла.

Как моделируются квазикристаллы сейчас? Берется одна огромная элементарная ячейка, которая в некоем приближении моделирует структуру квазикристалла, и затем эта элементарная ячейка повторяется в пространстве. Между прочим, такую модель предлагал великий химик Лайнус Поллинг (двукратный нобелевский лауреат). Лайнус Поллинг был большим врагом квазикристаллов, он считал, что квазикристаллов нет, что есть только кристаллы с большими элементарными ячейками, а люди по своей наивности описывают их как некое другое состояние вещества. Поллинг говорил: «Не бойтесь, мои друзья, квазикристаллов нет, есть лишь квазикристаллографы». Открыватель квазикристаллов Дэн Шехтман до сих пор вспоминает Поллинга с ужасом.

Гипотеза Поллинга имела некое рациональное зерно, хотя и оказалась неправильной, и химики до сих пор проводят расчеты квазикристаллов, используя эти большие элементарные ячейки и представляя квазикристаллы так. Это в вычислительном отношении неудобно, и это не позволяет выловить всех тонких аспектов структуры из квазикристаллов.



Просветы в форме золотых треугольников


Двухэлементность плотной упаковки правильными пятиугольниками с просветами видна невооруженным взором. Пенроуз в далеких 80-х придал всему этому несколько более эстетическую форму подачи материала, и сумел доказать, что при использовании более двух типов ромбовидных «кафельных плиток» (плоскость без несогласований можно замостить двумя видами ромбов: с острыми углами 36 и 72 градусов; углы этих ромбов связаны с золотой пропорцией) можно создавать непериодические мозаики с участием пяти-, семи- или 11-лучевых звезд. Он детально описал принципы создания таких мозаик и отметил, что эта область содержит много трудных и нерешенных пока задач. Сплав алюминия и марганца, который получен очень быстрым охлаждением расплава, обладает резкими дифракционными пятнами, и эти дифракционные пятна обладают симметрией пятого порядка. Если уточнить, то десятого порядка. Эта десятерная или пятерная симметрия запрещена в кристаллах. Несколько позже были открыты квазикристаллы с восьмерной и двенадцатерной симметрией. И затем, спустя 30 лет, были открыты квазикристаллы с восемнадцатерной симметрией в коллоидах, в коллоидных системах. Особенность квазикристаллов – их химические формулы крайне странные. Не AlMn, не AlMn2, а очень странные, диковинные пропорции химических элементов Al86Mn14.

Балонин Н. А., Сергеев М. Б. М-матрицы и кристаллические структуры // Вестник Магнитогорского государственного технического университета им. Г.И. Носова. 2013. № 3. С. 58–62.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрица золотого сечения G10 // Информационно-управляющие системы. 2013. № 6. С. 2–5.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационно-управляющие системы. 2014. № 1. С. 2–15.
Balonin N. A., Vostricov A.A., Sergeev M. B. Two-circulant golden ratio matrices // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2014, № 5 (71), pp. 5–11.

СИММЕТРИЯ ЖИЗНИ В КРИСТАЛЛАХ


Цветки многих растений обладают поворотной симметрией 5-го порядка, которая до последнего времени не наблюдалась в неживой природе. Общими у матриц, музыки, цветов и кристаллов могут быть некие числовые соотношения, например, соотношения 6:3:2. Напомним, что с этой темой связано признание теории квазикристаллов Дана Шехтмана, нобелевская премия 2011 года. Квазикристаллы обладают парадоксальной с точки зрения классической кристаллографии структурой, предсказанной из теоретических соображений (мозаики Пенроуза).



Плоская и объемная мозаики Пенроуза


Хорошо «упакованное» вещество обладает регулярной структурой. Для примера – привычная структура кристаллической решетки углерода дает алмаз. Гексагональная структура дает графит, который отличается другими свойствами. Возможна симметрия второго, третьего, четвертого и шестого порядка, а для других случаев, она невозможна. Невозможно, например, правильными пятиугольниками замостить какую-то плоскость, точно так же это считалось невозможным и для десятиугольников.

Большой вклад в кристаллографию внес русский минералог и математик Евграф Степанович Федоров. Он произвел строгий вывод всех возможных пространственных групп, тем самым описал симметрии всего разнообразия кристаллических структур. В 1918 году немецкий математик Нетер доказала теорему, согласно которой каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения, включая закон сохранения энергии.

Одними из основных операций симметрии в кристаллографии являются поворот (ротация) и параллельный перенос (трансляция). Обычные кристаллы – это периодические структуры, в них можно выделить элементарную ячейку и получить весь кристалл путем ее параллельного переноса по трем направлением. По этому монокристаллы растут в виде правильных многогранников и внешняя форма монокристаллов отражает геометрию элементарной ячейки: кристаллы NaCl (кубическая решетка) представляют собой кубы, кристаллы кварца SiO2 (гексагональная решетка) – правильные шестигранные призмы, увенчанные пирамидами.

Еще одной важной операцией симметрии является поворот вокруг определенной прямой – оси симметрии. Порядок оси указывает, сколько раз кристалл совместиться сам с собой при повороте ее на 360 градусов. Например, простая кубическая решетка (хлористый цезий CsCl), имеет три оси 4-го порядка, четыре оси 3-го порядка и шесть осей 2-го порядка. Трансляционная и поворотная симметрия не всегда уживаются вместе. Для того, чтобы путем параллельного переноса покрыть объем без несогласований, необходимо, чтоб элементарная ячейка имела только оси, отвечающие поворотам на 180, 120, 90 и 60о, эти углы соответствуют осям 2, 3, 4 и 6-го порядков. Оси 5, 7 и более высоких порядков запрещены. Действительно, правильными пятитиугольниками нельзя замостить плоскость без перекрытий или зазоров.

В 1912 г. немецкий физик-теоретик Макс Лауэ (нобелевская премия по физике 1914 г.) использовал кристалл в качестве дифракционной решетки для рентгеновских лучей. В том же 1912 г. два его студента – В. Фридрих и П. Книппинг пропустили рентгеновские лучи через кристалл медного купороса и получили на фотопластинке набор равномерно расположенных светлых точек – дифракционную картину. Возникла новая научная дисциплина – кристаллография.


В 1982 году Даниэль Шехтман (в 2011 получил Нобелевскую премию по химии) в Национальном институте стандартов и технологий, Гейтесберг вблизи Вашингтона, изучал строение сплава алюминия с марганцем с помощью электронной дифракции. В процессе работы электронный пучок, проходя через образец, дает дифракционную картину, т.е. рассеивание электронов, внешне напоминающее рентгеновскую дифрактограмму, которая фиксируется на экране в виде точек. Картина, которую увидел Шехтман, поразила его: десять ярких точек, расположенных вокруг центральной точки. По его воспоминаниям, он даже произнес вслух: «Этого просто не может быть!». Говорят, что, когда это открытие им было сделано, его выгнали с работы, потому что это открытие настолько противоречило учебникам кристаллографии, что начальник обвинил его в невежестве.



Дан Шехтман


Десятиугольник, который увидел Шехтман, – это только часть объемной картины. Проведя через некоторое время съемки образца под различными углами и дополнив это стандартной математической обработкой, он сумел определить, как расположены атомы в кристалле. Оказалось, что они разместились в вершинах икосаэдра – многогранника, собранного из 20 правильных треугольников. Шехтман знал, что невозможно заполнить пространство икосаэдрами так, чтобы они плотно примыкали друг к другу, обязательно возникнут пустоты, чего в кристаллических телах не бывает. В 1984 г. Шехтман (D. Shechtman), Блех (I. Blech), Гратиас (D. Gratias) и Кан (J. Cahn) на электронограмме сверхбыстроохлажденного сплава алюминия и марганца (Аl0.86 Мn0.14) подтвердили симметрию пятого порядка.

Атомы в квазикристалле упаковываются в икосаэдр – правильный десятигранник. Икосоэдр собирается из 20 тетраэдров. Но правильными десятигранниками невозможно заполнить пространство без зазоров и перекрытий. Виной этому именно ось симметрии пятого порядка. К имитации невозможной ячейки приводит использованием различных структур, форм, которые встречаются с разной частотой. Соотношение между этими частотами не является рациональным числом, то есть его нельзя описать как взаимоотношение двух целых чисел. Соответственно, так появился термин «квазикристаллы».

В 1961 г. математик Хао Ванг высказал следующую гипотезу: любая мозаика из повторяющихся элементов всегда периодична. Но в 1966 г. его ученик, Роберт Бергер, доказал, что гипотеза Ванга неверна: Бергер создал непериодическую мозаику из 20 426 плиток, полностью замостив плоскость. Через некоторое время он, впрочем, сумел сократить их число до 104. Математики стали искать варианты мозаик, которые можно построить из меньшего количества плиток. В 1971 г. Рафаэль Робинсон предложил всего шесть плиток для непериодического замощения плоскости. К поиску в этом направлении подключился известный английский математик Роджер Пенроуз.

В 1976 г. (очень вовремя, за шесть лет до открытия Шехтмана) Пенроуз достиг рекордного результата, он сумел создать непериодическую мозаику всего из двух плиток – утолщенного и утонченного ромбов строго определенных пропорций, да не просто пропорций а пропорций «золотого сечения» или 1.618... Эта мозаика, собранная из зеленых и голубых ромбов, сразу стала широко известной. Плоскость без несогласований можно замостить двумя видами ромбов: с острыми углами 36 и 72 градусов. Углы этих ромбов связаны с золотой пропорцией. Отношение числа широких ромбов к узким равно золотой пропорции. Поскольку это число иррациональное, нельзя выделить элементарную ячейку, которая содержала бы целое число ромбов. Если узловые точки заменить атомами, мозаика Пенроуза станет хорошим аналогом двухмерного квазикристалла, так как имеет много свойств, характерных для такого состояния вещества.

Во-первых, в мозаике можно выделить правильные многоугольники, имеющие совершенно одинаковую ориентацию. Они создают дальний ориентационный порядок, названный квазипериодическим. Это означает, что между удаленными структурами мозаики существует взаимодействие, которое согласовывает расположение и относительную ориентацию ромбов вполне определенным, хотя и неоднозначным способом.

Во-вторых, если последовательно закрасить все ромбы со сторонами, параллельными какому-либо выбранному направлению, то они образуют серию ломаных линий. Вдоль этих ломаных линий можно провести прямые параллельные линии, отстоящие друг от друга приблизительно на одинаковом расстоянии. Благодаря этому свойству можно говорить о некоторой трансляционной симметрии в мозаике Пенроуза.

В-третьих, последовательно закрашенные ромбы образуют пять семейств подобных параллельных линий, пересекающихся под углами, кратными 72°. Направления этих ломаных линий соответствуют направлениям сторон правильного пятиугольника. Поэтому мозаика Пенроуза имеет в какой-то степени поворотную симметрию 5-го порядка и в этом смысле подобна квазикристаллу.

Примечательно, что возникший интерес к квазикристаллам вызвал новую волну в исследованиях историков и искусствоведов, изучающих древние орнаменты. Оказалось, что непериодические мозаики были известны по крайней мере за сотни лет до Пенроуза, а помогли в этом разобраться, естественно, математики. Они посмотрели свежим взглядом на узоры, покрывающие мечети в странах Азии (Афганистане, Иране, Ираке и Турции), построенные еще в Средневековье. Среди них, как оказалось, присутствовали пятиугольники и десятиугольники. Это первый признак того, что мозаика непериодическая, тщательный анализ подтвердил такие предположения. По-видимому, уровень развития средневековой математики на востоке был значительно выше, чем считалось до сих пор, ведь придумать такой орнамент без специальных математических знаний практически невозможно.


КНИГА АБАКА


История. Корень из 2 и корень из 5, два иррациональных числа, соприкосновение с которыми наблюдается еще с античной древности. Корень из двух проявляет себя в задаче о равнобедренном прямоугольном треугольнике (длина гипотенузы при длине катетов 1). Первое упоминание о принципе золотого сечения находим в «Началах» Евклида. Около 400 г. до н. э. великий александрийский геометр записал, что при среднепропорциональном делении отрезка относительно его краев весь отрезок относится к большей своей части, как большая к меньшей: 1.618.. половина суммы 1 с корнем квадратным из 5.



Точка C делит отрезок AB в золотой пропорции


Если соединить "плечи" правильного пятиугольника, то вписанный треугольник делит соединяющую линию в золотой пропорции. Золотая пропорция – точка геометрического равновесия в отношении и целого с его частями, и самих частей. А, следовательно, и некая константа, идеальная (раз уж она "золотая") для развития объекта, системы или процесса. В 1202 г. молодой итальянский купец, страстный путешественник и великий математик Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи) написал трактат об арабских цифрах и нуле, свою «Книгу абака» (Liber abacci). В мало примечательной, помимо последующего долгого эха этой истории, задаче о размножении кроликов каждое следующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих.



Фараон Эхнатон преподносит дары богу Солнца


Геометрическое начало и парность звучит в описаниях Вселенной звучит уже в росписях древних египтян. Фараона Эхнатона сопровождает меньшая фигура. Иоганн Кеплер (1571–1630) заметил, что отношение смежных чисел ряда Фибоначчи, как его стали называть, стремится к пропорции золотого сечения. Скажем, 8:5 = 1.6, а 377:233 дает уже приближение к числу золотого сечения до пяти знаков от запятой 1.61803. Впрочем, последовательное приближение пропорции смежных членов к золоту справедливо для любого ряда, в котором каждый следующий член есть сумма двух предыдущих.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через Xn, то получим общую формулу Xn = Xn–1 + Xn–S–1. Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4 новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи. В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0. Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций.

Ряд Фибоначчи выделился простотой формулировки и использованием уникально простых исходных данных. Если взять три смежных числа ряда Фибоначчи, то перемножение крайних минус квадрат среднего будет давать через раз то –1, то +1. Известно, что ряд Фибоначчи – одновременно и арифметический ряд и геометрическая прогрессия и т. п. Ниже типичный рисунок о связи квадрата и прямоугольника золотого сечения.



Графическое определение золотого сечения

ОБЗОР ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ | ВЕКИЛОВ Ю.Х. | КВАЗИКРИСТАЛЛЫ | ХАТЫРКИТ


Rambler's Top100