МАТРИЦА АДАМАРА


MATRIX H12


MATRIX H16


MATRIX H20


MATRIX H68


MATRIX H92


MATRIX H92


Определение. Адамаровой матрицей А называется nxn матрица с элементами ±1, обладающая свойством

ATA=nI.


Иными словами: матрица Адамара – квадратная, с элементами {1,–1} с ортогональными столбцами ATA=nI.

Теорема (неравенство) Адамара состоит в том, что если у квадратной матрицы все элементы по модулю меньше или равны единице, то |det(A)|≤nn/2.

Верхняя граница достигается на матрицах Адамара. Другими словами, с точки зрения геометрии объем n-мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны. Доказательство знаменитого неравенства Адамара опирается на свойство определителей, позволяющее в оценках переходить к произведению A'A, порождающему квадратичные формы от элементов, которые в данном случае просты.

Гипотеза Адамара состоит в том, что такие матрицы существуют для порядков 1, 2 и n=4k, где k – целое число.

Матрицы порядков n=2k дает рекурсивная процедура Сильвестра

Ak+1=
 Ak 
 Ak 
 Ak 
 –Ak 


где первая матрица A1=1. Французский математик Адамар нашел отсутствующие в этой последовательности матрицы 12-го и 20-го порядков, 24-й порядок порождается процедурой Сильвестра из 12-го, и первый отличный порядок-исключение: 28-й.


Матрицы Адамара нормализуют, выравнивая знаки первого столбца и первой строки. На их множестве выделяют классы эквивалентности по отношению к операции перестановки строк и столбцов с возможной инверсией элементов.

Порядки, для которых существует только одна матрица Адамара: 1, 2, 4, 8, 12. На 16-м порядке их 5, на 20-м их 3, на 24 их 60, на 28-м их 487. На 32, 36, и 40 счет идет на миллионы. Некоторые из них эквивалентны с точностью до транспонирования. Выделяют регулярные матрицы – с равными суммами элементов строк и столбцов (необходимо: n – точный квадрат).

ЦИКЛИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ АДАМАРА



Пример циклической матрицы Адамара

A=
 –1 
1
1
1
1
 –1 
1
1
1
1
 –1 
1
1
1
1
 –1 


это характерно для n=1, n=4 (Circulant Hadamard Matrices R. Stanley), порядки 2 и кратные 8 исключены. Предположение о не существовании иных решений есть в учебнике Ризера (Ryser's conjecture) [1].

There is Ryser's conjecture (see [1], page 134): is the inexistence of matrices of order n > 4 that are circulant and Hadamard matrices simultaneously.

1. H. J. Ryser, Combinatorial mathematics. The Carus Mathematical Monographs, No. 14, Published by The Mathematical Association of America; distributed by John Wiley and Sons, Inc., New York 1963.

БИЦИКЛИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ АДАМАРА



Two two-circulant Ryser's matrices H8

TWO BASE CONFIGURATIONS OF WEIGHING MATRIX



Weighing matrix W12 (2 cells) and asymmetrical H24



Weighing matrix W12 (4 cells) and symmetrical H12

THE SYLVESTER ORDER



Two two-circulant matrices H16

THE WEIGHING MATRIX AGAIN



Weighing matrix W20 and asymmetrical H40



Weighing matrix W20 (4 cells) and symmetrical H20



Two-circulant asymmetrical Hadamard matrices H20 !

THE WEIGHING FOUR CIRCULANT MATRIX



Multi-circulant matrices W24 and H24



Multi-circulant matrices W24 and H24



Two-circulant multi-level matrix M24

THE WEIGHING MATRIX AGAIN



Weighing matrix W28 and asymmetrical H56



Weighing matrix W28 (4 cells) and symmetrical H28

THE SYLVESTER ORDER



Two-circulant matrices H32

THE WEIGHING MATRIX AGAIN



Weighing matrix W36 and asymmetrical H72

THE ASYMMETRICAL HADAMARD H40



Two-circulant asymmetrical Hadamard matrix H40 !

THE WEIGHING MATRIX AGAIN



Weighing matrix W52 and asymmetrical H104

СТРАНИЦА ПОИСКА БИЦИКЛИЧЕСКИХ МАТРИЦ (БАЛОНИН-СЕБЕРРИ)


МАТРИЦА ВИЛЬЯМСОНА


Вильямсон расширил практику блочного представления матриц Адамара, характерную для конструкций Пэли, увеличив число блоков по горизонтали и по вертикали еще вдвое, и назвав это массивом

W=
A
B
C
D
 –B 
A
 –D 
C
 –C 
D
A
 –B 
 –D 
 –C 
B
A


блоки которой (собственно, матрицы Вильямсона) представлены попарно-коммутативными симметрическими подматрицами порядка w с элементами ±1, удовлетворяющими условию ортогональности матрицы в целом

A2+B2+C2+D2=4wI.


ТАБЛИЦА 2007: WILLAMSON MATRICES UP TO ORDER 59


Доказано существование матриц порядков 4w для всех w<60 (2007 г.), w=9s и w=(q+1)/2, q – простое целое из чисел, равных –l (mod 4).

Если n/2–1 = 1 mod 4, то существует решение: A и B отличаются только основной диагональю и C=D. В простейшем случае A=1, B=1, C=1, D=1 дает адамарову матрицу четвертого порядка.

Поиск элементов таких блоков обеспечивается переборным алгоритмом, который облегчается, если предположить, что они циклические. Таким способом строится матрица 92 порядка (Baumert, Golomb и Hall, 1962): матрица первой сотни n<100, недостижимая в рамках конструкции Пэли.

1961 ГОД




The pleasure to find new matrix: Hadamard 92 moment 1961


From left to right, Solomon Golomb (Assistant Chief of the Communications Systems Research Section), Leonard Baumert (a postdoc student at Caltech), and Marshall Hall, Jr. (Caltech mathematics professor) hold a framed representation of the matrix.

Опорные векторы матриц 23-го порядка следующие (представление единственное):

A1 = (1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1)
B1 = (1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, -1)
C1 = (1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1)
D1 = (1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1)


Позднее Baumert нашел этим методом матрицу 116-го порядка.

Неизвестны матрицы Адамара порядков 668, 716, 892, 1004, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964...

КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ АДАМАРА


Definition. The Hadamard matrix H is nxn ±1-matrix H'H=nI. The skew-Hadamard matrix H can be calculated by Williamson-type A, B, C, D matrices, AAT+BBT+CCT+DDT=4mI, A is skew-circulant and B, C, D are back-circulant matrices, symmetry accordingly second diagonal:

H=
A
B
C
D
 –B 
A
D
 –C 
 –C 
 –D 
A
B
 –D 
C
 –B 
A


ИЛЛЮСТРАЦИИ БАЛОНИНА-СЕБЕРРИ


1971 ГОД


There is a skew-Hadamard matrix of order 92 (Jennifer Seberry, 1971). Previously the smallest order for which a skew-Hadamard matrix was not known was 92. The existence of any Hadamard matrix of order 92 was unknown until 1962 (see photo below).

Jennifer Seberry Wallis, A skew-Hadamard matrix of order 92, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 5, (1971), 203-204.

Следующая программа для поиска кососимметрических матриц Адамара на базе четырех циклических матриц использует идею сочетания циклической кососимметрической матрицы A, с тремя ациклическими симметричными формами B, C, D.



БИЦИКЛИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ С ДВОЙНОЙ КАЙМОЙ

















БИЦИКЛИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ АДАМАРА FGS-CONSTRUCTION


МАТРИЦЫ ЭЙЛЕРА


Бициклические матрицы Адамара с двойной каймой связаны с квазиортогональной матрицей Эйлера

E=
A
B
 BT 
 –AT 


Уравнение для округленной матрицы Эйлера со значениями элементов {1, –1}, несущее информацию только об ее структуре

E'E = (n+2)I – 2X,



где X – блочно-диагональная матрица с блоками единичных элементов порядков n/2. Первое преобразование ее к форме матрицы Адамара заключается в добавлении каймы и парной-перестановки элементов {b,–a} на {a,–b} нижнего правого циклического блока, затем добавляется вторая кайма и элементы округляются до {1,–1}.



ТЮРИН | СТАТЬЯ 1981 | СТАТЬЯ 2002 | ЭРИК ТРЕССЛЕР



МАТРИЦЫ АДАМАРА H1-H12





ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СТРОК В ВИДЕ БАЗИСОВ УОЛША-РАДЕМАХЕРА


Систему ортогональных меандров предложил Ганс Радемахер в 1922 году: Rk(t)=sign(sin(2kπt)), где t – безразмерное время. Ниже дан график до округления.



Система функций Радемахера ортонормирована на интервале [0,1], но неполна (синусы без косинусов). Дополнить ее с помощью косинусов тех же частот получается порядка до восьмого, а в общем условие ортогональности противоречит такой периодичности выборки. В 1923 году американский ученый Уолш получил полную систему ортонормированных функций, дополняя систему функций Радемахера: W0=R0, W1=R1, W2=R2, W3=R1R2, и т.п. На практике их находят, систематизируя строки матриц Адамара последовательности Сильвестра: ниже матрица до и после систематизации.


ГАНС РАДЕМАХЕР | ФУНКЦИИ РАДЕМАХЕРА | ВИКИ

Rambler's Top100