МАТРИЦА АДАМАРА 428


W=
A
B
C
D
 –B 
A
 –D 
C
 –C 
D
A
 –B 
 –D 
 –C 
B
A
G=
A
 BR 
 CR 
 DR 
 –BR 
A
 D'R 
 –C'R 
 –CR 
 –D'R 
A
 B'R 
 –DR 
 C'R 
 –B'R 
A


Массив Вильямсона W требует для своего построения симметричные циклические матрицы, удовлетворяющие условию ортогональности столбцов массива: A2+B2+C2+D2=4wI, w – порядок матриц Вильямсона. Эта идея была развита двумя авторами (Goethals and Seidel) массивом G, когда симметричность не требуется, остается условие AA'+BB'+CC'+DD'=4wI, R – матрица флипа (обратная диагональной). С симметричными блоками оба типа конструкций W и G тождественны друг-другу, различие касается несимметричных матриц. Целесообразность нововведения поясняется тем, что на порядке 35 матриц Вильямсона A, B, C, D полный компьютерный перебор не дал решения, и такие матрицы неизвестны для порядков 35,155,171, 203, 227, 291, 323, 371, 395, 467, 483, 563, 587, 603, 635, 771, 875, 915, 923, 963,1131,1307,1331,1355,1467,1523,1595,1643,1691,1715,1803,1923,1971, согласно работе Тсиа и Себерри.

Тюрин предложил к этой идее разложение матриц Гетхальса-Зейделя в базисе из четырех матриц c элементами {0, ±1}, построенных при помощи T-последовательностей, ненулевые части которых получены попарным сложением и вычитанием базовых последовательностей. Базовые последовательности строятся, в свою очередь, объединением четырех последовательностей Тюрина порядков n, n, n, n–1, так что порядок матриц Адамара равен 4(3n−1). Тюрин рассмотрел случаи n = 4, 6, 8, компьютерный поиск (Kounias, Sotirakoglou) добавил n = 26, 28, 30, 32, 34. Для того, чтобы не заниматься полным перебором, из ограничений на вид последовательностей извлекается часть их предположительных элементов, что и дало нужный результат Хади с соавторами для n = 36 (матрица 428-го порядка). Альтернатива: Cooper and Wallis (1972).

Из ограничений используется то, что автокорреляционная функция первой базовой последовательности апериодическая, т.е. имеет протяженный нулевой хвост, кроме того, подправляемые претендентные фрагменты кода генерируются по корням из –1 (дань дальнего родства разложениям функций по базису Фурье).

ПРИМЕР РАСЧЕТА МАТРИЦЫ ПОРЯДКА 44



ЧЕТЫРЕ КВАТЕРНИОНА МАТРИЦЫ ГЕТХАЛЬСА-ЗЕЙДЕЛЯ


Из сумм кватернионов T1, T2, T3, T4 состоят четыре блока A, B, C, D матрицы Гетхальса-Зейделя, слагающие матрицу Адамара H44. Синие элементы матричных портретов – это нули.





Литература

Goethals, J.M., and Seidel, J.J. (1967), Orthogonal matrices with zero diagonal. Canadian Journal of Mathematics, vol. 19, pp. 1001–1010.

ТЮРИН | ГОЛЕЙ | КУКУВИНОС и Ко | БАЗОВЫЕ | ХАДИ

Rambler's Top100