ТЕОРЕМА ЛАГРАЖА О СУММЕ ЧЕТЫРЕХ КВАДРАТОВ

© Nickolay A. Balonin, 27.03.2015


Джозев-Луи Лагранж (Joseph-Louis Lagrange) родился 25 января 1736 в Турине (in Turin, Piedmont-Sardinia). Протеже Эйлера и Д'Аламбера на пост заведующего отделением математики Прусской Академии наук, в Берлине, где он работал с 1766 года двадцать лет, неоднократный призер Французской Академии наук. В 1787, в возрасте 51 года, приехал в Париж, где прожил до 10 апреля 1813 года. Теорема Лагранжа о сумме четырех квадратов утверждает, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ МАТРИЦАМИ


A
 BR 
 CR 
 DR 
 CR 
 DT
 –A 
 –BT
 BR 
 –A 
 –DT
 CT
 DR 
 –CT
 BT
 –A 


Пропус: форма симметричных матриц при B=C


Представление ортогональных массивов Пропусами и формами Гетхальса-Зейделя является специфической иллюстрацией теоремы Лагранжа для чисел m=n/4 (буквальная визуализация четырьмя квадратами, при равенстве двух из них имеем случай Пропуса x2+2y2+z2=m).



Пропусы H12 and H20, p=3 и 2p=10


Отметим, x2+2y2+z2 связано с разностями r=px, s=py, t=pz, которые описывают число 1 или –1 матриц A, B=C, D, p=m/2 (проверьте, по картинкам). Очевидное преимущество симметричных решений (узоров) – они менее трудозатратны при поиске. Ограничение – они не всегда существуют. Найдены Пропусы H92, H116, H172 (два последних порядка не вошли пока в справочники) [1].

[1] Olivia Di Matteo, Dragomir Z. Djokovic, Ilias S. Kotsireas, Symmetric Hadamard matrices of order 116 and 172 exist, 2015 http://arxiv.org/abs/1503.04226.

ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ


Утверждение теоремы впервые появилось в Арифметике Диофанта, переведенной на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырех квадратов есть сумма четырех квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы и много сделал лично для Лагранжа. Однако Лагранж опередил Эйлера и доказал теорему в 1770 году. Доказательство теоремы представляет собой алгоритм, позволяющий находить разложение для числа N с помощью O(N2log2{N}) арифметических операций.

Теорема является решением проблемы Варинга для степени n=2. Поскольку числа вида 4m(8n+7); m, n=0, 1, 2, ... не представимы суммой трех квадратов, то теорема Лагранжа дает одно из двух известных значений функции Харди G(2)=4. Не представимы в виде сумм трех квадратов числа: 7, 15, 23, 31, и т.п., а также их произведения на 4.

Rambler's Top100