КОМПЛЕМЕНТАРНЫЕ МАТРИЦЫ


Типичные комплементарные матрицы – матрицы Якобсталя и Рагхаварао, образуют совокупно ортогональную матрицу Белевича.



Комплементарные матрицы Якобсталя и Рагхаварао дают C10, C26


Матрицы Мерсенна комплементарны сами себе, это свойство используется при вычислении матриц Эйлера (матричное уравнение Мерсенна (округленное) – родственник уравнения Рагхаварао). Комплементарную пару с матрицей Мерсенна дают диагональные D-матрицы (!)



Комплементарные матрица Мерсенна и D-матрица дают MD14, MD22



Квартет в 4 клетки в сравнении с Пропус 44

Диагональный элемент не особенно принципиален, поэтому матрица Мерсенна c диагональю "c" комплементарна матрице из единиц (мономатрице), уровень плато умножается в связке на ±c.



Спаренная матрица Мерсенна ω(n)=n+1/n

Решение, построенное на спаренных матрицах Зейделя, в отличие от случая матриц Мерсенна, не балует разнообразием значений диагонали матриц Якобсталя, попросту 0. Плоские области можно группировать по краям или по диагонали, все равно.



Спаренная матрица Зейделя ω(n)=n (порядок образующей)

Уровень площадок с ростом порядка стремится к 0. В таком случае, они заведомо не лучше матриц Эйлера и выигрывают в верхнем значении нижнего уровня только на 6-м порядке. Если рассматривать только верхнее значение варьируемого уровня матриц Мерсенна, то это разновидность матриц Прокла, построенных не на учетверении, а на удвоении Мерсеннов.



Матрица порядка 6 с 0≤ba=1, c=±1/sqrt(3)=±0.577947


Это не матрица, а континуальное множество модульно трехуровневых матриц с максимально возможным нижним c=±1/sqrt(3), cba=1, причем диагональный у матриц Якобсталя уровень, обозначаемый b, может быть опущен до нуля, ортогональность столбцов от этого промежуточного уровня вообще не зависит.

Им можно удлинять верхнюю, среднюю или нижнюю "полочку", все равно. Верхнее положение отвечает минимуму m-нормы и максимуму детерминанту 64 (ω(n)=n+1, n – порядок матрицы Мерсенна). Если нестабилен показатель m, то нестабильно и значение нижнего уровня: 0.288870 при b=a против 0.316405 при b=c. Формально вторая матрица лучше, но при делении на m это матрицы с одинаковым нижним уровнем.

Налицо неоднозначность определения, поскольку интуитивно ясно, что речь идет о максимуме пропорции к значению a. Матрицы, одинаковые в этом контексте, неодинаковы, если займемся формальным нормированием их столбцов, чего нет у минимаксных матриц, определенных, как раз, посредством нормирования.

Неясно, о чем идет речь, об ортогональных представителях матриц (как это было раньше), или о матрицах с элементом a=1? Формальное значение показателя зависит зыбко от характера нормирования и неясно, что следует сравнивать между собой – ортогональные матрицы или порождающие их квазиортогональные.



Есть и такие формы этой матрицы при b=a=1




a=1, b=0.781578, c=0.563335б, 3c2+b2–2ab=0


Выше еще один парный Мерсенн, но элемент ее "фона" b жестко фиксирован, такое решение "хуже" (нет возможности приравнять b=c) по значению минимального элемента, до и после нормирования столбцов: 0.316224.

На третьем и пятом порядках (и седьмом) это, без сомнения, матрицы Мерсенна и Ферма, у них нижний уровень конкурентно высок.





Две матрицы максимина M3 и F5 (или Рагхаварао)




На порядке 7 едва ли найдется что либо лучше Мерсенна, на 9-м порядке видна она же, с каймой (альтернативная структура ниже проигрывает ей)



a=1, b=4*sqrt(2)/7=0.808284, c=3*sqrt(2)/7=0.606212, d=sqrt(2/7)=0.53452




a=1, b=(7/sqrt(3)+1)/6=0.84025, c=sqrt(5)/3=0.745364, d=(7/sqrt(3)-1)/6=0.506916


На порядке 10 встречаются счетверенные матрицы Рагхаварао (они же Ферма), они дают длинную нижнюю полку.



Матрица типа "счетверенный Рагхаварао" с фоном –b=–2/3


Матрицы Адамара относятся также к матрицам с максимальным минимальным элементом. Определение, на самом деле, не совсем ясное, и на шестом порядке встретится матрица, объясняющая, почему. На порядках 3, 5 по верхней-нижней полке лидирует D-матрица.



D-матрица 5-го порядка (масштабированный Рагхаварао, она же Ферма)


Обобщение диагональной D-матрицы состоит в том, чтобы элементы диагонали заменить матрицами Мерсенна или Зейделя. Свободы, которое дает расширение порядка, достаточно для вариации диагонали.


PROPUS BY MAX DET MATRICES



a=1, b=0.689896, 10*b*b–4*a*b–2*a*a=0;


PROCLUS MATRICES OF ORDER 4t–2


Two-circulant or two A(a=1,–b), b<a, B(1,–1) blocks based two level quasi-orthogonal matrices of orders n=4k–2, k is even integer, including twin Mersenne numbers n=2m, m = 2k–1= 3, 7, 15, 31, 63, … (OEIS-sequence A000225). Proclus matrices follow prime and non prime Mersenne numbers m. Balonin conjecture: matrices Proclus of orders n=4k–2, keven integer number, exist. It is following Mersenne numbers matrices of even order 2m. Look also: Mersenne-Walsh matrices and Fermat matrices.



Euler matrix E6 and Proclus matrix P6 (equivalent C-matrix C6)


Every second Euler matrix can be converted to Proclus matrix, and every Proclus matrix can be converted to Euler matrix. The starting Proclus matrix is equivalent the C-matrix C6, Proclus matrix exists on problem for C-matrices orders.



Proclus matrix P22 and histogram of its entries.

Rambler's Top100