ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ



Система функций Радемахера


Прямоугольные ортогональные функции Радемахера (Rad), Уолша (Wal), Хаара (Har) упорядочил Хартмут [1], предложив обобщенное понятие частоты. Если сигнал понимается как непрерывный (не гладкий), то употребляется обозначение с малой буквы, rad например. Обобщенная частота, частность zps (zero-crossing per second), трактуется им как половина смен знаков функции в секунду.

Тригонометрические функции упорядочены по частоте и фазе (синусы и косинусы), аналогом упорядоченных по частоте функций являются функции Радемахера, тогда как функции Уолша и Хаара упорядочены как по частоте, так и по фазе, причем фаз (смещений) в последнем случае получается больше, чем две. Так как распространенное дискретное косинусное преобразование (ДКП) игнорирует фазу вовсе, система функций Хаара в ряде случаев дает преимущество.

Наиболее простая и не полная система функций предложена Радемахером в 1922 году. Эта система прямоугольных функций на полуоткрытом интервале [0,1) неполна и представляет собой огрубленный синус rad(i,t)=sign(sin(2iπt)), складывающий собой ортогональные строки прямоугольной матрицы.

Полную систему прямоугольных косинусов Cal(i,t) и синусов Sal(i,t) построил в 1923 году Уолш [2], впоследствии было замечено, что ее дает перестановка столбцов матрицы Адамара по обобщенной частоте.



Система функций Адамара и Уолша




На заре становления Пэли ввел диадическое упорядочивание, используемое также при построении минимально попарно отличающихся кодов Грея (не ортогональных). Коды Грея часто применяются в датчиках-энкодерах. Оно удобно тем, что два соседних значения шкалы сигнала отличаются только в одном разряде и есть сорт зеркальной симметрии (рефлексии).

Код Грея – система счисления, в которой два соседних значения различаются только в одном разряде. Наиболее часто на практике применяется рефлексивный двоичный код Грея, хотя в общем случае существует бесконечное множество кодов Грея для систем счисления с любым основанием. В большинстве случаев, под термином «код Грея» понимают именно рефлексивный бинарный код Грея. Он используется для кодирования номера дорожек в жестких дисках.



Система функций Уолша и Пэли


Индексная строка ix=[0,1,3,2,7,6,4,5] может быть получена из двоичного представления последовательности целых чисел путем суммирований по индексу 2 (XOR) первой пары соседствующих чисел с последовательным прибавлением к сумме ранее сгенерированных чисел.

Первая система прямоугольных функций была предложена венгерским математиком Альфредом Хааром еще в 1909 году. Впоследствии, ближе к окончанию века, в компьютерную эпоху, Ингрид Добеши стала развивать теорию ортогональных вейвлетов и предложила использовать функции, вычисляемые итерационным путем, названные вейвлетами Добеши.



Система функций Уолша и Хаара


Система функций Хаара образована последовательными сжатиями вдвое (увеличивающими частоту) и смещениями (увеличивающими фазу) во временной области первой отличной от 1 функции Радемахера. Систему функций Хаара можно рассматривать также как результат аннулирования части элементов функций Уолша, отвечающим функциям Радемахера (с нормированием и смещением).

1. Harmuth, H. F. "Applications of Walsh Functions in Communications." IEEE Spectrum 6, 82–91, 1969.
2. Walsh, J. L. "A Closed Set of Normal Orthogonal Functions." Amer. J. Math. 45, 5–24, 1923.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ | ФУНКЦИИ УОЛША | ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХААРА

Rambler's Top100