МАТРИЦЫ ПРОКЛА


Историческая справка. Прокл Диадох – греческий математик и филосов, разрабатывавший концепцию о том, что числа – мост между двумя началами: умом и чувственным восприятием. Диадох отвергал пятый элемент как ненужный, сторонник чрезмерного лаконизма.

В теории ортогональных матриц порядка четных порядков n=4k+2 есть две последовательности: оптимальных и субоптимальных матриц Белевича и Эйлера, соответственно. Довольно важным представляется вопрос о том, нет ли между ними промежуточной ветви, не являются ли гарантированно существующие матрицы Эйлера избыточными по m-норме.

Таковы матрицы Прокла. Модульно-двухуровневые матрицы с ортогональными столбцами и элементами {±a=, ±b}, b<a, порядков, равных числам n=2k–2, следующего нормального вида

P2k=
 M(a,–b)k 
 M(a,–a)k 
 M(a,–a)k 
 –M(a,–b)k 



где M(a,–b)k, M(a,–a)k – матрицы Адамара-Мерсенна, где b=0 при n=6, b=(q–4*(q–4)1/2)a/(q–8), где q=n+2 (порядок матрицы Адамара).

Уравнение связи уровней матрицы имеет вид

(q–8)b2–2qab+(q–8)a2=0


Матрицы Прокла определены через матрицы Мерсенна, это сопровождающие их матрицы четных порядков, условия существовании которых определяются ранее сформулированной гипотезой (они существуют).

Матрица Прокла P6 эквивалентна матрице Белевича C6, т.е. она лучше по норме матрицы Эйлера E6. Во всех остальных случаях она повторяет структуру матрицы Эйлера, имея вдвое более узкий и глубокий нижний уровень. Порядки этих матриц идут через 8 (а не через 4), каждая вторая матрица Эйлера может быть ими улучшена.



P6 ЭКВИВАЛЕНТЕН БЕЛЕВИЧУ C6




P14 НЕ ЭКВИВАЛЕНТЕН БЕЛЕВИЧУ C14


Иными словами, матрица Эйлера – первая в ряду составных матриц четного порядка, в отношении которой уместен вопрос о снижении ее нормы поправками к элементам, как поступают с матрицами Белевича в конструкции Пэли. Ответ дают компромиссные матрицы, называемые матрицами Прокла.

Rambler's Top100