PROPUS MATRICES



© Nickolay Balonin, 27.10.2014


Propusi – название передних лап, по латыни (кратная звезда в созвездии Близнецов) – подходящее название для матриц, порождаемых парами матриц Мерсенна (Propus-M) или Эйлера (Propus-E). Их порядки отличаются на 4.

Для работы с одной матрицей нам потребуется следующая ее сигнатурно-симметричная форма: A=M(a=1,–b) – матрица Мерсенна (или Эйлера, все равно), B=C=D=M(1,–1).

В общем случае эта сдвоенная ветвь ортогональных матриц стартует на матрицах Адамара, отклоняется от них и снова асимптотически приближается в связи с приближением порождающих матриц к матрицам Адамара. В простейшем случае (для матрицы четвертого порядка) условие ортогональности дает решение вида A=0, B=C=D=1. Оно соответствует матрице Белевича, которая аппроксимирует вид таких матриц.

В парах близнецов Пропус-E предшествует Пропус-M, поскольку второй тип матриц стартует с матрицы Адамара раньше. Конечно, W12 и W24 эквивалентны, однако не стоит забывать, что каждая вторая матрица Эйлера не связана с нижней матрицей Мерсенна.



Пара Пропус-E W24 и Пропус-M W28


Propuse-M. Уравнение связи уровней для матриц Мерсенна имеет вид

pb2–2(p+1)ab+(p–2)a2=0


решение b=–a при n=12, и b=(p+1–(4p+1)1/2)a/p, где p=(n–12)/16, n>12, n – порядок итоговой блочной матрицы. Ниже построен график модулей b.


Смесь матрицы Адамара первого порядка и Мерсенна

Расчет методом Гетхальса-Зейделя

Propuse-E. Уравнение связи уровней для матриц Эйлера имеет вид

(p–1)b2–2(p+1)ab+(p–5)a2=0


решение b=–a при n=24, и b=(p+1–2(2p–1)1/2)a/(p–1), где p=(n–8)/16, n>24, n – порядок итоговой блочной матрицы.


Смесь матрицы Адамара второго порядка и Эйлера


ПРОПУСЫ ОТ ЗЕЙДЕЛЕЙ


Неизвестны матрицы Адамара порядков 668, 716, 892, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964... заметим, что все они делятся на 4, то есть, все они допускают аппроксимацию их расширенными матрицами Мерсенна с одним иррациональным уровнем. Если матрицы Адамара наследуют качество аппроксимирующих их близнецов идти парами (т.е., если они тоже близнецы), то существование H664 пролонгирует существование H668.

Order 1004. Some New Orders of Hadamard and Skew-Hadamard Matrices (pages 270-277) Dragomir Ž. Đoković, Oleg Golubitsky and Ilias S. Kotsireas. Article first published online: 12 JUN 2013 (arXiv:1301.3671v2 [math.CO] 14 May 2013)


Propus, we call B=C symmetric Williamson-type quasi-orthogonal matrix. The name, taken directly from the Greek, means "forward foot", appropriate to its position as the foot of the western twin star Castor. The 17th century Italian astronomer Riccioli wrote it Propos, and Flamsteed gave both Propous and Propus.

A special case of Propus is a symmetric A(1,–b); B(1,–1)=C(1,–1)=D(1,–1) construction based on the one symmetric Cretan Matrix A(1,–b), actually it is a twin-Propus A=B=C=D in its structure. Propus Cretan Matrices allow construct quasi-orthogonal matrices of all critical for Hadamard matrices orders.

Unknown Hadamard matrices of orders n = 4v = 668, 716, 892, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964... let us note, order v=4t–1 belongs to CM-SBIBD(4t–1,2t,t).

EXAMPLE 1: ORDER 668


Example 1. Observe A(1,–b) given by CM(167) constructed by CM-SBIBD(167;84;42). Reachable det(CM(668)=nn/2/hn, where h=1.04 (for Hadamard matrices h=1).



Cretan Matrix CM(167) and histogram of its entries




Propus Cretan Matrix CM(668) and histogram of its entries


EXAMPLE 2: STARTED PROPUS CM ARE HADAMARD MATRICES


Example 2. Observe A(1,–b) given by CM(3) and CM(6). Reachable det(CM12)=nn/2/hn, where h=1. For these two orders Propus Cretan Matrices and Hadamard Matrices are equivalent. Propus Cretan Matrices start with Hadamard Matrices and finish by them due for n=∞ the level b=1.



Propus Cretan Matrices CM(12) and CM(24)


EXAMPLE 3: COMPLEMENTARY PROPUS MATRICES


Example 3. Observe A(1,–b) given by CM(7). Propus CM(28) and Hadamard Matrix order 28 are different by matrix A construction. Matrices A, B giving Hadamard Matrix are complementary Propus Matrices.



Propus Cretan Matrices CM(28) and Hadamard Matrix order 28



Propus Cretan Matrix CM(28) and histogram of its entries


EXAMPLE 4: PROPUS CREATAN MATRICES WITH LOW DIAGONAL


Example 4. Observe A(1,–b,δ) given by CM(13) of order 4t–3. Propus CM(52) has a similar construction with low diagonal matrices B=C=D.



Cretan Matrix CM(13) and Propus Cretan Matrix CM(52)


PROPUS BY MAX DET MATRICES



a=1, b=0.689896, 10*b*b–4*a*b–2*a*a=0;


Rambler's Top100