3D РАЗВЕРТКИ ДЕТЕРМИНАНТОВ



Функция детерминанта матрицы третьего порядка


Для квазиортогональных матриц второго-третьего порядка несложно построить их детерминант, как одно или двухпараметрическую функцию, описывающую вращение базиса, с наглядно видным максимумом или максимумами. Двупараметрическая развертка детерминанта квазиортогональной матрицы третьего порядка позволяет увидеть точки, отвечающие частным реализациям матрицы Мерсенна M3. У матриц Адамара "дыхание" больше, оси базиса разнесены, и деформаций вершин, ведущих к многоуровневым оптимумам, не происходит. У Мерсеннов картину портит соседняя ось, которая сносит пиковый оптимум.



Развертка детерминанта матрицы третьего порядка


Рассмотрим, как такие развертки получаются. Для этого нам придется параметрически описать подвижные вектор-столбцы поворачиваемой квазиортогональной матрицы. Нормирование векторов позволяет отслеживать m-норму (максимальную проекцию) и детерминант.

ДЕТЕРМИНАНТ МАТРИЦЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА


Рассмотрим ортогональную матрицу порядка n=2, заданную парой координат {a, b} ее первого вектор-столбца, а именно

M=
a
c
b
d


второй вектор зависимый, пересчитывается через координаты первого столбца. Детерминант ортогональной матрицы равен 1, а модуль детерминанта квазиортогональной матрицы с элементами, не превышающими по амплитуде 1, равен |det(M/m)|=1/mn, где m=max(|a|,|b|).

Оптимальное решение (максимум детерминанта) отвечает минимально возможному значению m-нормы матрицы. Построим график m-нормы при вращении первого вектор столбца на 90 градусов, получим следующую зависимость для ортов.


Зеленая "чайка" отвечает навершиям косинуса и синуса, т.е. m-норме, а детерминант показан красным, его пик отвечает определителю |det(M/m)|=1/m2 матрицы Адамара H2.



ДЕТЕРМИНАНТ МАТРИЦЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА


В трехмерном варианте первое приближение к поверхности минимизируемой функции дает, очевидно, вращение этой "юлы" краем вокруг третьей оси координат.

Если не варьируем третью координату (ноль), получим подобие полушария с бордюром, выпуклого или вогнутого, в зависимости от цвета "чаек", решение будет лежать в круговой ложбине или, наоборот, на круговой вершине, как ниже (детерминант).

Описать профиль круговой поверхности можно ее разветкой, как бы, картой этого "глобуса", ниже показан не изменяющийся при повороте (отсчет вниз) детерминант.



Второе, более точное приближение, даст учет третьей координаты вращаемого вектора, изменяемой от 0 к 1 линейно с отражением этого на амплитудах первых двух из них, по прежнему описывающих "чайку". Получим следующую развертку оценок значений детерминанта со слишком оптимистичным значениям m=sqrt(1/3)=0.5774...



Учет еще трех координат второго вектор-столбца М-матрицы, вращаемого вокруг первого, позволяет уточнить оценку m-нормы и обозреть окрестности детерминанта вблизи его максимума, поправки буквально видны. Вмятина перемещает оптимум с середины развертки в три ощутимо различимых точки (вариантов сортировок матрицы Мерсенна M3) со значением m=1/3=0.6666..., первая: на одну треть высоты развертки.

Rambler's Top100