ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА



Заметка по Карцеву и Стюарту, история кватернионов


Основной труд жизни – «Трактат», Максвелл завершал в гленлейрской глуши. Содержанием этой книги, конечно, были прежде всего статьи по электромагнетизму, и та, которую он написал еще в Кембридже, и две лондонские, и одна – уже гленлейрская, в которой впервые отчетливо прозвучала мысль не просто о магнитной, но и об электромагнитной волне. Но было здесь и нечто новое, не присутствовавшее в статьях. В «Трактате» Максвелл широко использовал кватернионы.

Комплексные числа можно представить матрицами порядка 2, зависящими от двух вещественных чисел, над полем которых они определены, образуя свое собственное поле с использованием "обычных" матричных операций

 α 
 β 
 –β 
 α 


Кватернионы можно представить комплексными матрицами порядка 2 той же структуры, α=a+jb, β=c+jd, где числа второй строчки комплексно сопряжены, или матрицами четвертого порядка (соответственно, коммутативный закон для кватернионов не выполняется, что не мешает описывать с их помощью трехмерные преобразования, использующие углы Эйлера), зависящими от четырех чисел. И то и другое легко реализуется в рамках современных пакетов. Иначе обстояло дело двести лет назад.

Изобретение кватернионов, несомненно, было одним из величайших достижений человеческого ума. Отнюдь не сразу оцененным. Восемьсот страниц чудовищной математики, изданных президентом Ирландской Королевской академии, членом-корреспондентом Санкт-Петербургской академии наук сэром Вильямом Роуэном Гамильтоном, были абсолютно неудобоваримы. Сложность математических построений. Пугающая новизна. Деревянный, путаный язык. Полное отсутствие логики и последовательности. Все печальные атрибуты гениального труда.

Со времени изобретения кватернионов в 1843 году до избрания Тэта через десять лет профессором в Белфасте судьба кватернионов была скорее плачевной. Они не получили сколь-нибудь широкого распространения.

Злые языки утверждали, что Гамильтон изобрел кватернионы, пробираясь в пьяном виде после веселой пирушки по одному из дублинских мостов. Фантазиями «пьяницы» Гамильтона мало кто интересовался. Но с приходом Тэта на кафедру в Белфасте положение резко переменилось. Тэт подпал под сильнейшее влияние царившего в Дублине Гамильтона. Затеял с ним энергичную переписку. Одно из писем насчитывало 88 страниц. Подхватив знамя, Тэт развил, упростил, популяризировал его теорию, пронес как главное свое научное увлечение через всю жизнь.

В 1867 году Тэт выпустил свой «Элементарный трактат о кватернионах», где в кватернионной форме были выражены важнейшие теоремы, использовавшиеся Максвеллом при построении теории электромагнитного поля, – теоремы Остроградского – Гаусса, Стокса, Грина. Максвелл, ранее кватернионами не увлекавшийся, со все возрастающим волнением и заинтересованностью прочел в Гленлейре трактат старого школьного приятеля. Максвелл первым из физиков подметил особенности кватернионного исчисления.

Понятия «источника», «резервуара», «вихря», требовавшие раньше длинных объяснений, допущений, введений, механических моделей, причинившие столько беспокойства в ранних статьях, теперь уже естественно и легко укладывались в символику кватернионов.

Комплексные числа могут показаться странными, но они оказываются волшебным средством для понимания физики. Проблемы тепла, света, звука, колебании, упругости, гравитации, магнетизма, электричества и течения жидкости, все уступают этому комплексному оружию, но только для физики в двух измерениях. Наша Вселенная, однако, имеет три пространственных измерения, если не больше. Следовательно, раз двухмерная система комплексных чисел так эффективна для двухмерной физики, может ли существовать аналогичная трехмерная числовая система, которую можно использовать для физики реального мира? Нас ждет отрицательный ответ (он положителен в конечном поле Галуа).

Ирландский математик Виллиам Рован Гамильтон потратил годы на поиски трехмерной числовой системы, но все без результата. Наконец, 16 Октября 1843 его осенила догадка: не искать в трех измерениях, а искать в четырех. И она сработала. Гамильтон назвал свои новые числа кватернионами. Через два месяцев, услышав от Гамильтона про кватернионы, Джон Грейвс, британский математик и старый друг Гамильтона еще со времен колледжа, объявил, что он нашел восьмимерную числовую систему. Он назвал их октавами.

Но до того как Грейвс опубликовал свои результаты, британский адвокат-математик Артур Кэли сделал то-же самое открытие, и опубликовал его как приложение к ужасной в остальных отношениях работе об эллиптических функциях. Он назвал систему октонионами. Открытие октонионов с тех времен приписывается не тому человеку (они часто известны как числа Кэли, даже сегодня). Но на самом деле это не имело большого значения, так как все равно никто не обратил какого нибудь внимания на новые числа. Казалось, что октонионы не более чем причуда Викторианской математики. Грейвс, однако, не терял энтузиазма и был долго убежден, что его метод перехода от 4 к 8 можно и дальше использовать, получая алгебры размерности 16, 32, 64 и т.д., для любой степени двойки.

Он назвал свою 16-мерную алгебру седенионами, но не нашел способа сделать ее, также как все остальные алгебры, работоспособной и начал сомневаться в их существовании. Его подозрения имели основания. Мы сейчас знаем, что эти четыре алгебры, размерности 1, 2, 4 и 8, единственные, которые отдаленно напоминают обычные действительные числа. Причина в том что, при увеличении размерности, эти системы удовлетворяют все меньшему и меньшему числу алгебраических законов – алгебраическая структура становится беднее. Если говорить несколько упрощенно, на седенионах Грейвса, алгебраическая структура уже в значительной степени пропадает.

В 1835 году Гамильтон опубликовал работу «Теория алгебраических пар» (Theory of Algebraic Couples), в которой дал строгое построение теории комплексных чисел. Если Эйлер рассматривал комплексное число как формальную сумму a+jb, а Вессель и Гаусс пришли к геометрической интерпретации комплексных чисел, трактуя их как точки координатной плоскости (причем последний в 1831 году в работе «Теория биквадратных вычетов» также предложил вполне строгое построение алгебры комплексных чисел), то Гамильтон (вероятно, не знакомый с работой Гаусса) рассматривал комплексное число как пару (a,b) действительных чисел. Ныне все три подхода распространены в равной мере; при этом с появлением работ Гаусса и Гамильтона был снят вопрос о непротиворечивости теории комплексных чисел (точнее, он был сведен к вопросу о непротиворечивости теории действительных чисел).

Гамильтон в течение нескольких лет работал над обобщением понятия комплексного числа и созданием полноценной системы «чисел» из троек действительных чисел (сложение должно было – как и для комплексных чисел – быть покомпонентным; проблема состояла в надлежащем определении умножения). Не преуспев в этом, он обратился к четверкам действительных чисел. Озарение, приписываемое молвой влиянию Бахуса, в доматричную эпоху, пришло в виде допущения возможности некоммутативной алгебры с ее правым и левым делениями. В самом деле, результат выполнения двух трехмерных поворотов (задаваемых соответствующими кватернионами) существенно зависит от порядка их выполнения.

Слова скаляр и вектор вошли в математику благодаря наличию у кватерниона "действительной" и "мнимой" частей, появились скалярное и векторное произведения. Векторное произведение, как известно, прижилось в теории электромагнетизма.

Множество кватернионов обладает всеми свойствами алгебры размерности 4 (по числу базисных единиц), в нем заданы операции умножения на действительное число, сложения и умножения кватернионов. Во многом эта алгебра близка алгебрам действительных и комплексных чисел. Она ассоциативна по сложению и умножению, дистрибутивна, имеет единицу (действительная единица); в ней определены вычитание и деление (левое и правое); это алгебра нормированная (есть понятие модуля), в ней выполняется тождество четырех квадратов.

Но алгебра кватернионов уже сильно отличается от алгебр меньших размерностей. Она некоммутативна по умножению и в силу этого, несмотря на «высокое качество» свойств, множество всех кватернионов является не полем, а телом – некоммутативным кольцом с делением (иногда можно встретить название «некоммутативное поле»). Одна из важнейших отличительных черт алгебры кватернионов состоит в том, что она является последней по числу размерностей ассоциативной алгеброй с единицей и с делением.

В 1878 году немецкий математик Г. Фробениус доказал замечательную теорему: «Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трех: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов».

В следующей по размерности алгебре гиперкомплексных чисел – октав, содержащей 8 единиц, ассоциативность умножения уже теряется и заменяется ее ослабленным аналогом – так называемой альтернативностью. Однако и алгебра октав является нормируемой: в ней существует тождество суммы квадратов (восьми). Интересно, что именно поиск такого тождества привел английского математика А. Кэли к открытию алгебры октав. И оказалось, что алгебр более высоких размерностей, допускающих тождество суммы квадратов, больше нет.

Это было доказано в 1898 году немецким математиком А. Гурвицем в его знаменитой теореме: «Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октав».

Ни одна из систем гиперкомплексных чисел (гиперкомплексная система) не является полем (в отличие от комплексных чисел), а именно, умножение таких чисел не коммутативно. В ходе исследований кватернионов Гамильтон попутно ввел понятие векторного поля (сам термин «поле» у него еще отсутствует, вместо него использовалось понятие векторной функции точки) и заложил основы векторного анализа. Символика Гамильтона (в частности, введенный им оператор набла) позволила ему компактно записывать основные дифференциальные операторы векторного анализа: градиент, ротор и дивергенцию. На основе работ Гамильтона Гиббс и Хевисайд выделили и развили систему векторного анализа, уже отделенную от теории кватернионов; она оказалась чрезвычайно полезной в прикладной математике и вошла в учебники.

В последних своих работах Максвелл отказался от кватернионной символики в пользу более удобного и наглядного векторного анализа Гиббса и Хевисайда. В наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление. Тем не менее, использование параметров Родрига–Гамильтона (четырех компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается.

Анри Пуанкаре писал: появление (кватернионов) дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику.

ВИКИ | ЯН СТЮАРТ | ВЛАДИМИР КАРЦЕВ | p-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Rambler's Top100