МАТРИЦЫ ДАМАРАЬЮ РАГХАВАРАО



Damaraju Raghavarao


Смотрите также: АДАМАРА, ЯКОБСТАЛЯ

Циклические версии матриц максимального детерминанта представлены первыми двумя матрицами Рагхаварао порядков n=5, 13, 25, 41, 61, ... (нечетное).

R'R = (n–1)I + J,



где R – искомая целочисленная матрица из {1, –1}, I,J – единичная матрица и матрица, состоящая полностью из 1. Необходимое условие их существования состоит в том, что 2n–1 квадрату некоторого числа.

Уравнение для этого типа матриц выделено еще Guido Barba, Рагхаварао нашел и опубликовал матрицу порядка 25. Вопрос существования циклических версий матриц Рагхаварао (и Адамара) увязывается с вопросом о максимальной длине последовательностей Баркера, их существование в такой форме стеснено.


Теория построения таких матриц исходит из того, что если произведение R'R имеет квазидиагональную форму с элементами на диагонали d и вне ее s<d, то определитель

det(R'R)=det(R)2=(d–s)n–1(d+s(n–1))



из положительности квадрата детерминанта следует s=–1 и d=n, это случай округленных матриц Мерсенна, когда det(R'R)=(n+1)n–1, или s>0, причем максимум значения детерминанта приходится на случай s=1 и d=n (при нечетном n). Максимуму отвечают матрицы Рагхаварао c det(R'R)=(2n–1)(n–1)n–1.

Поиск версии матрицы Рагхаварао R13, у искомой матрицы сумма абсолютных значений элементов столбцов R'R равна 2n–1.

Orrik writes : A (25, 9, 3)-balanced incomplete block design was first constructed by Bhattacharya [1944], Raghavarao, apparently independently, was the first to discuss maximality of the determinant (and to give the description of these matrix orders). Similar matrices: Brouwer construction for matrices of order 2q(q+1)+1 = 5, 25, [non 41], 61, [non 85], 113, [non 145] .. with q an odd prime (every second matrix?). Brouwer matrix, 1983: order 61. Every second matrix nobody knows how to find them: besides Bridges, Hall and Hayden, 1981, order 41. Matrix order 85 under th question. Look also: Barba, Guido (1933), "Intorno al teorema di Hadamard sui determinanti a valore massimo", Giorn. Mat. Battaglini 71: 70–86.

D. RAGHAVARAO | A.E. BROUWER | ПЕРЕЧЕНЬ МАТРИЦ

Rambler's Top100