REGULAR HADAMARD MATRICES



© Nickolay A. Balonin, Dragomir Z. Djokovic 10.09.2014

Bush-type Hadamard matrix images: orders 16, 36, 64, 100, 324


Regular Hadamard matrices have orders n=4m2, equal to each other sums of columns and rows: absolute value s=sqrt(n); and maximal excess σ=n×s. The Jennifer Seberry's matrix (1969) with 3×3 cells, see paper (1969) and painting.



Рис. 1. Платоновы тела: тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр


Из истории. Орнаменты ортогональных матриц часто описываются теми или иными группами (циклическими, дицикическими и т.п.). Элементы конечных групп принято помечать двумя-четырьмя буквами aa, ab, a2c, abc и т.п., у геометрических фигур с симметриями символы ассоциированы с углами поворотов Эйлера. При большем составе таких символов их можно приземлить до матриц 2×2 (подгруппы SL(2,q), q – размер поля), и есть правила упрощений, типа a2=b2=e*, e*2=1 (инволюция) и т.п. В теории групп изучены группы симметрий тел Платона.

Матрицы Адамара возникают в интерпретациях теории групп. Размеры 12, 24 и 60 подгрупп тетраэдра, октаэдра и икосаэдра отвечают размерам этих ортогональных по столбцам матриц. Сами по себе тела Платона "ортогональными" не являются. В 1993 Нобору Ито сформулировал правила, позволяющие заменять цепочки символов элементами 1 и –1 (гомоморфное отображение) с получением матрицы Адамар (см. комментарии у Шмидта к Ito_IV.pdf).

Самые простые группы: циклические. Первый пример неабелевых простых групп был открыт Галуа. Это знакопеременная группа An – подгруппа индекса 2 в симметричной группе перестановок Sn, состоящая из всех четных перестановок. Простота An, n≥5 трактуется как неразрешимость алгебраических уравнений степени, большей 4 (теорема Галуа). Пять примеров спорадических простых групп в 1861 году дал Эмиль Матье. Их порядки (число элементов) равны произведениям степеней двойки на простые числа и их степени.



В 1965 году, спустя век, Звонимир Янко (cross-section method) обнаруживает группу из 23×3×5×7×11×19=175 560 элементов, обозначаемую J1. Группа J2=JH имеет 27×33×5×7 элементов, ее интерпретацию перестановками нашел Холл (есть геометрические интерпретации Холла и Жака Тита). Компьютеры позволили построить более крупные примеры с J3, J4 (таблица). Группа порядка, выражаемого 54-мя цифрами (большой монстр) обнаруживает удивительные связи monster moonshine с теорией чисел, теорией модулярных форм и т.п. Интерпретации матриц строго регулярными графами описываются параметрами {ν, κ, λ, μ}. Спорадическая группа J2 представлена {100,36,14,12} графом.

Матрицы типа Буша представляют собой витраж матрицы Адамара или конференц-матрицы в себя (порядок – квадрат матрицы четного порядка). В первом случае вставка тривиальна использованием нормальной формой матрицы Адамара. Во втором случае клетки A=J позиционируют на месте 0 конференц-матрицы. Матрицы размера 36, 100 и 324 можно получить перестановками блоков или элементов С6, С10, С18. Стоит отделить интерес к порождающим матрицу Буша перестановкам последовательностей, называемых иногда "орбитами", и подсчеты количеств эквивалентных матриц типа Буша, порождаемых перестановками, не разрушающими центральных клеток. В статьях по комбинаторике транспозиции (парные перестановки элементов с индексами a, b) объединяют в циклы (a,b,c,...)(...) вместо (a,b)(b,c) и т.п.


THREE TYPES OF REGULAR HADAMARD MATRICES



Bush-type: cell 2m; Vitrage: cell 2m–1 ("Bush" with border); PerGol: cell 2m2


There is two-circulant regular Hadamard matrix of order 100; orders n=4m2, m=3, 7, do not pass the Arasu-Xiang test (necessary condition). For instance there are no periodic Golay pairs for orders 36, 196). Maximal excess matrices of Farmakis and Kounias [9] used to construct cores of near-to-optimum matrices with a hope, they can be strong optimal by determinant. Many matrices can be constructed using Theorem 5.15 (p. 344) of [5].

THE BUSH-TYPE MATRIX

J
 W12 
 ... 
 W1s 
 W21 
J
 ... 
 W2s 
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
 Ws1 
 Ws2 
 ... 
J

Matrices of Bush-type have s=2m diagonal J-cells of order 2m.




Bush-type. It is well seen that Hadi's case: it is insertion of HM into HM (any normalized 4k HM matrix gives Bush-type RHM, order 16k2: cases 16, 144, 400, 2500, .. simple Bush-type matrices have orders of Sylvester line: latin squares based, review, and a continuation). So a problem case: symmetric C-matrix pluginto negacirculant C-matrix. Problem lines starting with known orders: 36, 100, [196?], 324 for odd m=3, 5, 9; matrix of order 324 is symmetric: case n=4m2=100, m=5, is observed by Zvonimir Janko, Hadi Kharaghani, and V. D. Tonchev, 2001. [google].

Поиск матриц Буша размера 4m2 с блоками размера 2m, m – нечетное, это скорее искусство, чем хорошо изученная технология, не найдена матрица 196. Поэтому важны предположения (guess).

Регулярные витражи, это вставки матриц Мерсенна в Зейделя. Или Зейделя в Мерсенна. Порядки 9 и 11 дадут 99, и кайма даст 100. Блоки всех матриц Буша размера 2m (m – нечетное) – перестановки клеток бициклических конференц матриц (С-матриц) того же порядка, на стартовых порядках последние содержат матрицы Мерсенна, Зейделя и матрицы максимума детерминанта (пятый порядок клетки).



Блоки матрицы Янко-Хади для блок-негациклической матрицы Буша 36


Zvonimir Janko & Hadi Kharaghani, A Block Negacyclic Bush-Type Hadamard Matrix and Two Strongly Regular Graphs, J. Combinatorial Th. (A) 98 (2002) 118-126.

В H100 все блоки – варианты блоков C10. У матрицы H36 все блоки – варианты перестановок блоков C6. Это менее заметно на глаз, ибо упрощая пару B, F (ранга 5), мы усложняем внешний вид C, D, E (ранга 4). Это здорово сбивает с толку. Тем не менее, троица C, D, E такова, что перестановками каждую можно свести к 4-м клеткам Мерсенна M3 !



Bush-type H36, 36=6×6, and symmetric Nick's H36, 36=1+5×7


Матрица типа Буша дихотомична, параметры (число черных или белых элементов) квадратных клеток матрицы Янко и квадратной и прямоугольной клеток симметричного витража выше равны: 9 и 6. Также равны и λ=6 (число самопересечений). На нынешний день спрессованы C-матрицы размеров 6, 10 и 18. Нет случая с С14 !

THE BUSH-TYPE MATRIX 36



Негациклическая конференц-матрица C6


Мы рассматриваем регулярные матрицы как витражи, 36 это вставка С-матрицы 6 в С-матрицу 6, с искажениями последней (втискиванием, компрессией). Негациклическая (в отличие от циклической, бицикл использовал Янко в 2000 году) матрица С6 существует, в нее мы и вставляем симметричный бицикл. Вместо 0 вставляем единичную матрицу J, которая и нужна форме Буша. Общая логика вставки сохранена (0 – особый элемент).

Следующая конструкция (витраж) предусматривает вставку в негациклическую матрицу C6 единичной матрицы A=J вместо нулей и производные от бициклов B, C, D, –E, F. Ограничения формируют орнаментальную задачу, для сокращения переборов предложена обратная циклическая B (F – тот же тип с каймой!). Напомним, бицикл С6 построен на 4 матрицах Мерсенна (M3, M3, M3', –M3'). B или F могут содержать (M3, –flip(M3), –flip(M3)', M3), так как их ранг велик при нулевых суммах строк и столбцов.



С-matrix M3-based and block B of H36


To construct Bush-type matrix for m=3, 7, not 11 (there is no C22), 15, 19, ... we need only two symmetric blocks B, C* of block-negacirculant form with A=J, B, C1, C2, ..., F, where F is permutated B, Ci are permutated C*. In difference to jacobsthal matrix, two circulant conference matrix has 2 symmetric blocks X, Y. Half of work is done! Let us take instead X block X–I or X+I and note it again as X.

We can do B=[X,–X;–X,X] and C*=[Y,–Y;–Y,Y], both will have a low rank = m, while block B has 2m–1. So we take X, Y in reversed order of columns X=flip(X), Y=flip(Y), rank becoming be 2m. To have shown rank B = 2m–1 we add "circulant shift" both columns/rows for the first block of B. To have lower rank of second block rank C* = m+(m–1)/2 < 2m–1 we need return old look of the first block of C*, i.e. make flip again B=[shift(X),–X;–X,X], C*=[flip(Y),–Y;–Y,Y].

For m=3, rank(B)=5, rank(C*)=4 by C6; for m=7, rank(B)=13, rank(C*)=10 by C14; for m=15, rank(B)=29, rank(C*)=22 by C30; for m=19 rank(B)=37, rank(C*)=28 by C38. My reason is "Nature is not angry" and having such solution for Bush 36, we will have it and for 196, and for ALL other others. We see here resonable ranks, resonable symmetries (Hadi did Bush by HM, JKT – by conference matrices), so negacirculant Paley C-matrices are a source of symmetric blocks insertions: we change 0 by J, 1 and –1 by B, F or Ci and sign (we seen it by Bush 36) can be reflected by permutation in C*.



Conference matrix C14 (nega/sym versions) and Bush-type 196 blocks B, C*


CONSTRUCT BUSH 36 by FIXED B, C*



Nick's two circulant matrix Bush 36



С-matrix with M3, blocks B and C* of ranks 5 and 4, and H36



Four types of block F with fixed B


FOUR SOLUTIONS FOR FIXED B



Block B



Direct-reversed+backshift-reversed-direct odd/even-permutations of F



Two-backcirculant shifted C (latest is just reversed odd/even-permutated)



Three-backcirculant shifted D (plus reversed odd/even-permutated)



Two-backcirculant shifted E (latest is just odd/even-permutated)


Более детально



Цепочка матриц, что то вроде решения дифура, краевой задачи. Если задаем начальную и конечную матрицы, то средние уже не варьируются. Это как доска. Прибили один край, доска еще может рыпаться. Надо прибить другой. Но где он этот другой край? Где его прибивать? Он зависит, где прибито начало. Появляются недостижимости. Краевые задачи – модели физических систем с креплениями. Бассейнов. У них стены есть. Атомов. Янко интересовало в них то, что переконфигурацией формы матрицы мы переходим от цепочки 2-х матриц к 4-м и даже 6-ти. В теории групп это совсем разные группы, но они сидят в одной и той же пещере-матрице.



Матрицы B, C чет-нечет H65 and symmetric "Bush-type"-type H36


Отнесение матриц Буша к несимметричным довольно условно – относительно второй диагонали дело поправимо, а значит, всегда возможна симметричная конструкция к клетками из единиц на антидиагонали. Янко, пожалуй, мало значения придавал "краевым условиям" (стартовая матрица B в H36 выглядит как случайная). Можно задавать не края цепочки, поскольку дальний край долго пересчитывать. А соседнюю матрицу. Хотя, если матрицы замкнуты в кольцо, понятие соседа относительно. Дальний может оказаться ближним !

На новый порядок знания не переносимы, порядок 36 – свой мирок клеток. Задача растет не в рост, а в сложность. Узор усложняется. Общая логика остается. Пара зажимных матриц и серединка (или остальные). Нашел самое простое решение Буша 36: F=a2ab(B) – строки и столбцы обратной циклической матрицы B на чет и нечет разделить, как в спортзале, "каждый второй".



Backcirculant B and F=a2ab(B) – чет и нечет разделить


B получена смещением и флипинверсией начальной матрицы с 4 блоками M3. С, E связаны матричными уравнениями с B, F, а D – надо отразить в зеркале С по вертикали и по горизонтали и сделать сдвиг назад строк/столбцов. Матрица A имеет низкий ранг 1 (разряжение в центре) – краевые B, F отличаются повышенным рангом 5.


Начинается все обратным циклическим блоком B. Его еще можно трактовать как 4 клетки M3 и смещение, он прост. Но ранг срединного блока D на 1 меньше! Надо удваивать столбец (например), но это разрушит симметрию. В итоге преемственность разваливается. Раз преемственности нет, ее придется создать. Не разбив яйца – не сделаешь яичницу. Чем нибудь нестандартным. Нестандартное, это блок посередине 2×2. Он как замочная скважина в блоке B. Повернули его, как стрелочки указывают. Ранг упал до 4 !



Все начинается с "поворота ключа" в B. Перестановки не меняют ранга, переставил первую строку 1 с соседней 2 и с самой последней 6. И столбец тоже. Готово, получили D с молоточками C, E построим обычными перестановками по D, они такие же, ранга 4. Блок F ранга 5 построим обычными перестановками из B. Более тонкий прием состоит, однако, в построении матрицы C или D из блоков M3 (пример с H100 использует блоки С10).

Три матрицы заданы, края B, F (rank=v–1=5) и середина D (rank=v–2=4), а две матрицы С, E (rank=v–2=4) определяю свободу нескольких версий решения (согласно уравнениям). Уравнения [B,E]=[F,C], [B,C]=–[B,D], где [A,B]=AB–BA (коммуникатор), сокращают путь к решению. Как состав с двумя поездами B, F по краям и рестораном D посередине. Можно одновременно инвертировать знаки блоков B, D, F или C, E. Все матрицы Буша такого типа должны тяготеть к этой конструкции, число "вагонов" увеличивается только.



Задача симметрична, блоки B, C, D, E, F можно брать в реверсном порядке


Это, как два гвоздя крепят доску. Краевые условия. Зажали B – F уже не столь свободно выбирается (!). Зажали и F – решение для остальных матриц застыло !

Теория говорит следующее. Берется условие ортогональности H'H=nI, это уравнение, оно дает (если расписать с учетом структуры H) уравнения для блоков BC-CB=-(ВD-DB) и FC-CF=BE-EB. Как проверить, правильно ли выбрана F? Генерируем множество С, E. Если нет ни одной пары, для которой FC-CF=BE-EB, тогда F выбрано неверно ! Меняем F. Допустим, мы выбрали таки B, F и назначили совместные C, E. Тогда "хороша ли" D можно проверять, подставляя во вторую формулу BC-CB=-(ВD-DB). Если равенство не соблюдается, можно не пытаться строить всю матрицу H с ней, а искать более хорошую D сразу. Это ускорение.

Итак: выбор F зависит от B, и вместе они зажимают решение. Так как "базовое единственное решение" известно теперь (!) то цикл перебора всех индексов ix=sortindex(ix) (номеров строк-столбцов) дает возможность остановиться на любом желаемом наперед симметричном B ранга 5. Легко проверяется, что нет решения с остановом B=F, и есть решение с C, E зависящими от 4-х клеток M3!



B, C, D, E, F с блоками C, E зависящими от 4-х клеток M3


ЧЕТЫРЕХ БЛОК-ЦИКЛИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ БУША



Matrix H36 (Zvonimir Janko 2000, Zvonimir-Hadi's 2002)



Можно смещениями найти основу из 4-х клеток Мерсенна M3


SIMILAR TO BUSH NON REGULAR CONSTRUCTIONS



Conference matrix C6 and vitrage of order 18



Similar to Bush-type construction


HADI CONSTRUCTION



Some matrices of Sylvester line of orders 2, 4, [not 8], 16, [not 32], 64, .. use latin squares (circulant cores)
The regular Hadamard matrices H16, H64 based on latin squares, continuation.




Bush-type H16, backcirculant A, B=D, C, D=B and Propus 16



Bush-type H64, backcirculant A, B


or

or

Generalization: any normalized HM, order n=4m, gives RHM, order 16m2: m=5, order 400.

Kronecker product gives no Bush-type matrix

Belevitch matrix

BUSH-TYPE HADAMARD MATRIX 100



C10 based solution of Z. Janko, H. Kharaghani, and V.D. Tonchev


Z. Janko, H. Kharaghani, and V.D. Tonchev, Bush-type Hadamard matrices and symmetric designs, J. Combin. Designs 9 (2001), 72-78.

Матрица Буша лаконично дана двумя "орбитами" – верхними строками циклических структур, которые при любой сложности встроенных блоков требуют не более одной (верхней) последовательности элементов, структуру вы "додумываете" сами. В статье много материала отводится типичным для теории групп поискам элементов (эквивалентных реализаций) перестановками. На данном порядке ярко проявляются оба качества матриц Буша. С одной стороны, это вставки блоков, определенно обязанных своим содержанием конференц-матрице C10 в структуру родственного происхождения. С другой стороны, комбинаторный характер вставок несомненен, они мало прогнозирумы (в отличие, например, от конфигураций регулярных матриц с каймой).



Версии матрицы Буша 100 после перестановок


BUSH-TYPE HADAMARD MATRIX 324



Jacobsthal 9 based solution of Z. Janko, H. Kharaghani, and V.D. Tonchev




C-Matrix C18 and diagonal block of rank 17 (Jacobsthal 9 based)





Bush 324 Diagonal blocks A=J (rank 1), B, C, D, E, F, G, H, rank 9



Bush 324 Outside blocks A2 (rank 17), B2, C2, D2, E2, F2, G2, H2, rank 13


Ranks of diagonal blocks are 1 (block A=J) and 17, the outside blocks have ranks 9 and 13 inside two superblocks of matrix.

F has blocks of maximum determinant matrix, order 18



JENNIFER SEBERRY CONSTRUCTION



The Jennifer Seberry's matrix (1969) with 3×3 cells, see paper (1969) and painting




Conference matrix C46, RHMs have many common with it


There is recursive chain for orders n3k, k is even [google].

FRACTAL REGULAR HADAMARD MATRICES





Nick's set of Regular HM with letter "F" ( F[1025])


Central chain of regular matrices of orders 4, 16, 64, 256, 1024, .. can be build as Kronecker product with regular Hadamard matrix of order 4. Second chain of regular matrices of orders 36, 144, 576, 2304, 9216, .. can be build starting with order 36. Third chain of regular matrices of orders 100, 400, 1600, 6400, 25600, .. can be build starting with order 100. And so on. Algorithm draws letter "F".




REGULAR HADAMARD PROPUS-CONSTRUCTION


P=
A
 B=С 
 C=B 
D
C
D
 –A 
 –B 
B
 –A 
 –D 
C
D
 –C 
B
 –A 




Regular double Propus H4 and H16



Two versions of regular double Propus H64 seems: it is the last symmetric double Propus.

THE PROPUS-TYPE REGULAR HADAMARD MATRIX ORDER 36





Nick's versions of regular Propus H36

Regular Hadamard matrix order 4n – it is a twin Propus with A=B=C=D=H of order n, after a normalization: we have to change sign of the first block-row and block-column of the Propus-type Hadamard matrices:

P=
A
 B=С 
 C=B 
D
C
D
 –A 
 –B 
B
 –A 
 –D 
C
D
 –C 
B
 –A 
P=
A
 –B=–С 
 –C=–B 
 –D 
 –C 
D
 –A 
 –B 
 –B 
 –A 
 –D 
C
 –D 
 –C 
B
 –A 


We have to start with Regular Hadamard matrix H, order n, construct Propus-type matrix, normalize it, and iterate this process. Some initial matrices, roots of Propus-chains, they are Propus-type matrices theirselves: the first unknown order: 100 (there are two-circulant regular Hadamard matrices of order 100 and 144 [1–4]).



Starting regular Propus H4 and chain's H16



Continuation of chain's H64 and H256


or



Regular Hadamard matrix order 144=4×36


SYMMETRIC NICK'S REGULAR HADAMARD MATRIX



Symmetric Nick's regular Hadamard matrix H36 based on 36=1+5×7


or

or


Symmetric regular Hadamard matrix H100 based on 100=1+9×11


or

REGULAR HADAMARD MATRIX PROBLEM ORDER 196


Number 196=1+13×15=1+13(1+7+7), based on pair (13,15), Paley's block Q(7) is not symmetric.

or



GOLAY SEQUENCES


A
B
 –BT 
 AT 


Golay sequences with sizes 2, [non 4], 8, [non 16], 32, .. give regular two circulat Hadamard matrices with orders 4, 16, 64, ..., and Golay sequences with sizes 1, 4, 16, .. give regular four circulat Hadamard matrices with the same orders 4, 16, 64, ... (non symmetric Propus-type matrices with B=C). Symmetric version looks like a finite family.

PERIODIC GOLAY SEQUENCES





Four non regular two-circulant matrices H100 by SDS (50;22,21;18)


The first periodic Golay pair whose length, 34, is not a Golay number has been found in 1998 by Dragomir [1]. (In fact two non-equivalent such pairs were found.) Periodic Golay pairs of length 50 have been found by Djokovic [2] and Kotsireas and Koukouvinos [3]. Four pictures H100 built by SDS (58;27,24;22), n=2v, v must be even, taken from the paper of Djokovic and Kotsireas [4].



Regular two-circulant matrix H100 by (50; 25, 20; 20)




Regular two-circulant matrix H144 by (72;36,30;30)


This SDS for regular H100 above is given in Dragomir's paper in Annals of Comb (2011); note added in proof: Subsequent to the posting of the first version of paper on 14th July 2007, I.S. Kotsireas and C. Koukouvinos constructed by a completely different method another example of SDS with parameters (50; 25, 20; 20) [3]. The two examples are indeed nonequivalent.

Since all Golay numbers in the range 1, 2, . . . , 100 are known, we deduce that 34, 50, 58, 68, 72, 74, 82 are the only periodic Golay numbers for which we are presently sure that they are not Golay numbers [4]. The parameters for the periodic Golay pairs of length 50 (one of them) for regular matrix are (50;25,20;20). Thus, one of the circulant blocks has 0 row sum. Consequently we get regular H100.

In total Dragomir tested about 100 milions random circulant A blocks against all symmetric B blocks (with 20 terms –1) and did not find any complementary pairs. This means that conjecture (symmetric two-circulant matrices is finite family, maximal order 32) survived this test. However it was used only a tiny part of the entire sample space for circulant A blocks. Thus, this is not a strong evidence that conjecture is true.

1. Dragomir Z. Djokovic, Note on periodic complementary sets of binary sequences, Des. Codes, Cryptogr. 13 (1998), 251–256.
2. Dragomir Z. Djokovic, Cyclic (v; r, s; ) difference families with two base blocks and v ≤ 50. Ann. Comb. 15 (2011), no. 2, 233–254.
3. I. S. Kotsireas, C. Koukouvinos, Periodic complementary binary sequences of length 50. Int. J. Appl. Math. 21 (2008), 509–514.
4. Dragomir Z. Djokovic, I. S. Kotsireas, Some new periodic Golay pairs. arXiv:1310.5773v2 [math.CO] 27 Aug 2014
5. W. D. Wallis, Anne Penfold Street, and Jennifer Seberry Wallis, Combinatorics: Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices, Springer-Verlag, Berlin 1972.
6. Mikhail Muzychuk and Qing Xiang, Symmetric Bush type Hadamard matrices of order 4m4 exist for all odd m, Proc. Amer. Math. Soc., 134, no 8 (2006) 2197-2204. S 0002-9939(06)08229-3 Article electronically published on 3 February 2006. (PDF)
7. Jennifer Wallis (Seberry), Two new block designs, Journal of Combinatorial Theory, Vol. 7, no 4, 1969, pp. 369-368. (PDF)
8. Jennifer Seberry Wallis, (v, k, λ)-configurations and Hadamard matrices, J. Austral. Math. Soc., 11, (1970), 297-309.
9. N. Farmakis and S. Kounias, The excess of Hadamard matrices and optimal designs, Discrete Math. 67 (1987) 165-176. (PDF)
10. Zvonimir Janko, Note, The Existence of a Bush-type Hadamard Matrix of Order 36 and Two New Infinite Classes of Symmetric Designs. Journal of Combinatorial Theory, Series A 95, 360364 (2001). pp. 360-364. (PDF)
11. A.K. Bush, Unbalanced Hadamard matrices and finite projective planes of even order, Combinatorial theory no 11, 1971, pp. 38-44. (PDF)
12. H. Kharaghani, On the twin designs with the Ionin-type parameters, Electronic J. Combin. 7 (2000), R1. MR1736717 (2000m:05027).





8 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДРАГОМИРА
BACKCIRCULANT B



Задача симметрична, блоки B, C, D, E, F можно брать в реверсном порядке


БИБЛИОТЕКА РЕШЕНИЙ











B, C, D, E, F Blocks OF Janko-Hadi and Nick versions



Good F follows the other matrix B





B, C, D, E, F Blocks with fixed B (Nick, Dragomir versions)




HADAMARD BUSH-TYPE 100



Орбита матрицы Bush-type 100 и блок B



БЛОКИ РАНГА 5



КОММУТАЦИИ



FC – CF = BE – EB




СИНТЕЗ КРАЙНИХ БЛОКОВ


Block B by Jacobsthal matrix

Block B by M


Block B by S

Block F

Block L






HALF-SYMMETRIC STRUCTURE

H=
 T1 
 T2 
 –T2
 T1
T1=
A
B
C
 B' 
A
B
 C' 
 B' 
A
T2=
D
E
F
 E' 
D
E
 F' 
 E' 
D







































Rambler's Top100