ТЕОРЕМЫ О ВЗВЕШЕННЫХ МАТРИЦАХ


Смотрите также: МАТРИЦЫ БЕЛЕВИЧА, ВЗВЕШЕННЫЕ

Теорема (Geramita and Seberry (1979), Theorem 4.46) Если существуют циклические матрицы A, B порядка n с элементами {0,1,–1}, удовлетворяющие критерию

A2+B2=wI,


то существует взвешенная матрица W=W(2n,w)

W=
A
B
 –BT 
 AT 
W=
A
 BR 
 –BR 
A


где R – обратная единичная матрица (флип).

Матрицы A, B могут быть построены на базе пары комплементарных последовательностей Голея (Golay seq). Необходимое условие существования: размер парных последовательностей должен быть суммой двух квадратов (где один квадрат может быть 0): 1, 2, 4, 8, 10, 16, 20, 26, 32, 40, 52, 64, 80 (n<100). Исходные примитивы имеют порядки 2, 10, и 26 (остальные строятся на их основе).

Jennifer Seberry: The W(18,16) definitely exists (it can be made with Golay seq of length 8 add zero to each and make two circulant matrices). The W(22,20) definitely exists (it can be made with Golay seq of length 10 add zero to each and make circulant matrices).

На случай 27.



Если существуют циклические матрицы A, B нечетного порядка 1<n<31, исключая порядки 11, 17 и 29, с элементами {1,–1}, удовлетворяющие уравнению Элича (Ehlich)

A2+B2=2(n–1)I+2J,


где J – матрица единиц, то существует матрица максимального детерминанта X=X(2n)

X=
A
B
 –BT 
 AT 


Легко видеть, что исключаемые порядки 22, 34, 58, .. совпадают с исключаемыми порядками матриц Белевича. Ортогонализация матриц с элементами {1,–1} дает модульно-двухуровневые матрицы {±1,±b}, целочисленные взвешенные матрицы с b=0 исследованы в работах Себерри: состав (по порядкам) таких матриц более полон, поскольку условия совместимости регулируются допускаемым количеством нулей.

УРОВНЕВЫЕ МАТРИЦЫ


Уровневые двуциклические матрицы превосходят целочисленные взвешенные матрицы по детерминанту.



Матрицы S6 c b=1/31/2=0.5774 и S10 c b=2/3



Матрицы S14 c b=(1+61/2)/5=0.6899 и S18 c b=(4+71/2)/9=0.7384



Матрицы S26 c b=(3+31/2)/6=0.7887 и S30 c b=(7+101/2)/13=0.7817


ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦЫ ХАДИ


Матрица смешанного типа с элементами {0,±1,±b}, получаемая ортогонализацией матрицы Хади (Hadi Kharaghani, см. 66-й порядок), интересна своим приближением к виду матрицы Белевича, вопрос о существовании которой открыт.



Матрицы S66 c b=(16+311/2)/25=0.8627


Вслед Янгу (см. статью) Hadi Kharaghani сконструировал матрицу максимального детерминанта порядка 66 из 6x6 циклических блоков порядка 11.

Похоже, матрица не сводима к матрице Белевича

В. БЕЛЕВИЧ | СПРАВКА ОТ 1999 | 2005 | 2012 | W(2n,2n–9) | ТАБЛИЦА



Rambler's Top100