TWO BORDERS TWO CIRCULANT HADAMARD MATRICES



© Nickolay Balonin, 1.05.2015

Hadamard matrix catalogue and on-line algorithms


АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА В GF



Расчет в конечном поле GF(2s). Компоненты вектора состояния определены в GF(2), s – порядок динамической системы: порядок характеристического полинома фробениусовой матрицы A модели пространства состояний xk=Axk–1, A=[0 1 0 ..0; 0 0 1.. 0; .....; a0, a1, ... as–1].

В данном случае, для формирования бициклической матрицы Адамара с двойной каймой элементы бинарных последовательностей a, b рассматриваются как выходы ak=Cxk, bk=Cxk, C=[0, 0, ..., 0, 1], компактных, в сравнении с ними, динамических систем. На опорных порядках n = 2s=1, 2, 4, 8, 16, 32, .. резонанс (ортогональность) достигается гарантированно применением одной и тоже системы для обоих плеч матрицы расчетом A и начального условия x0.



Hadamard matrix H32 n=32, s=5 and H28 n=n–4=28, s=s+2=7 (!)


В более общем случает необходимо назначать парные отличные между собой начальные условия или даже парные значения матрицы A, отвечающих генерации отличающихся между собой последовательностей a, b.

Отклонение матрицы Адамара уходом ли ее структуры (например, отказ от двойной каймы) или изменением порядка n от опорных значений 1, 2, 4, 8, 16, 32, .. приводит к необходимости повышать порядок s динамической системы, причем близость желаемого значения n к опорному порядку (из указанных) не означает близости к опорным значениям выбираемого s. Труднее всего вместить близкое, а не далекое (то есть, иногда s берется для порядков заметно больших).

ГЕНЕРАТОР С УТОЧНЕНИЕМ

Много этим занимался физик акустик Манфред Шредер, он же предложил называть решения a, b для опорных порядков последовательностями Галуа. Матрица напоминает свистульку с двумя отделениями. Камера ушла совсем на немного, от "идеальной" формы, но вот дуть в нее приходится "заковыристее". Почему динамические системы годятся не на все порядки? Так ведь, у нас зажато поле (выход только бинарный), а нужно добиться ортогональности. Когда от динамических систем остаются начальные состояния, тождественно равные a, b, эта форма описания теряет преимущество краткости.

Последовательности Галуа. Известны последовательности порядков q=2m–1, названные Манфредом Шредером последовательностями Галуа (PDF, 11Mb, см. стр. 322).

HADAMARD MATRICES



Hadamard matrix H8



Hadamard matrices H12 and H16



Hadamard matrices H20 and H24



Hadamard matrices H28 and H32



Hadamard matrices H36 and H40



Hadamard matrices H44 and H48



Hadamard matrices H52 and H56 (numerical search)


Rambler's Top100