ВЗВЕШЕННЫЕ МАТРИЦЫ



Nickolay Balonin and Jennifer Seberry

Weighing matrix catalogue and on-line algorithms


Квадратные матрицы порядка n, кратного 2, с нулевой диагональю и остальными элементами {1,–1}, удовлетворяющие условию вида CTC = (n–1)I, где I – единичная матрица.



Таблица сумм двух квадратов


Задача построения конференц-матриц сложна, так, в частности, пока неизвестен вид матриц 66-го порядка. Класс взвешенных конференц-матриц W(n,nk) отличается от конференц матриц количеством k≥1 нулевых элементов каждой строки или столбца и уравнением WTW = (nk) I.

Необходимое условие существования целочисленных матриц обоего типа – разложимость числа (веса) nk на сумму квадратов двух целых чисел. При k=1 порядки, для которых не существуют конференц-матрицы, таковы: 22, 34, 58, 70, 78, 94 …. Определенная надежда, в связи с этим, возлагается на взвешенные матрицы, поскольку очевидно, что на разрешимость задачи можно влиять, изменяя целочисленный параметр k.

Смотрите также: МАТРИЦЫ БЕЛЕВИЧА, СЕБЕРРИ

МАТРИЦЫ ГЕРАМИТЫ-СЕБЕРРИ


Теорема (Geramita and Seberry (1979), Theorem 4.46) Если существуют циклические матрицы A, B порядка n с элементами {0,1,–1}, удовлетворяющие критерию

A2+B2=wI,


то существует взвешенная матрица W=W(2n,w)

W=
A
B
 –BT 
 AT 
W=
A
 BR 
 –BR 
A


где R – обратная единичная матрица (флип).

Дж. Себерри: A, B могут быть построены на базе пары комплементарных последовательностей Голея (Golay seq). Необходимое условие существования: размер парных последовательностей должен быть суммой двух квадратов (где один квадрат может быть 0): 1, 2, 4, 8, 10, 16, 20, 26, 32, 40, 52, 64, 80 (n<100). Исходные примитивы имеют порядки 2, 10, и 26 (остальные строятся на их основе) [1].

1. Christos Koukouvinos and Jennifer Seberry, New weighing matrices constructed using two sequences with zero autocorrelation function - a review, J. Stat. Planning and Inf., 81 (1999), 153-182. ISSN 0378-3758/99.

Keys: Vitold Belevitch, Jennifer Seberry, weighing matrices, maximal determinant problem

МАТРИЦЫ ТИПА WTW = (n–2)I




Матрицы шестого и десятого порядка W6, W10



Матрицы восемнадцатого и 22-го порядков W18, W22



Оригинальные матрицы порядка n=18 и 22 найденные здесь




Матрицы из пары циклических матриц W34, W52

МАТРИЦЫ С ДВОЙНОЙ КАЙМОЙ

VERSIONS W(4,2) and W(12,10)



VERSIONS W(22,20)





VERSIONS W(28,26)



VERSIONS W(32,30)



VERSIONS W(36,34)



VERSIONS W(52,50)



НЕСТАНДАРТНЫЕ МАТРИЦЫ


На 6-м порядке интересно решение уравнения WTW = (n–2)I с центральным размещением блока 2x2 нулей из набора элементов {0, ±1, ±b}, b=1/21/2.



WTW = (n–2)I, n=6 и WTW = (n–6)I, n=14


МАТРИЦЫ ТИПА WTW = (n–4)I



Шахматная доска и матрица Рагхаварао


На восьмом порядке занятно выглядит шахматная доска, на 13-м заметна полинявшая матрица Рагхаварао. У циклических матриц вес равен квадрату некоторого числа: s2=nk, число единиц равно (s2+s)/2, число альтернатив (s2–s)/2.

УДВОЕНИЕ МАТРИЦ ЭЙЛЕРА К WTW = (n–2)I




Из сбалансированных матриц Эйлера, порядки n=12 и 20




Из сбалансированной матрицы Эйлера, n=44 (вес 39)


ЧЕТЫРЕ БЛИЗНЕЦА (ПРОПУСЫ)




Матрицы Близнецы n=8 и 12 (из Мерсеннов)



Матрицы Близнецы n=44 и 88 с весами 39 и 78


Note: there is some non two circulant version W(70,k), k is integer, (PDF, 1998).

В. БЕЛЕВИЧ | СПРАВКА ОТ 1999 | 2005 | 2012 | W(2n,2n–9) | ТАБЛИЦА



Rambler's Top100