1.5. КРИЗИС ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ


Зародившись в античной Греции, теория числа превратилась во всеми признаваемое ристалище, на котором испытывали свои силы сильнейшие математики. При делении яблока между едоками на доли нельзя получить иррациональное количество вещества. Греки были поражены изобретением геометрической машины, которая без натуги производила числа, не равные отношениям двух целых величин. Этот парадокс казался им родственником апорий Зенона. Отвергнув движение как фикцию, греки вполне последовательно вывели иррациональность за пределы понятия «число». В дальнейшем в Европе будет изготовлено много других «числоделательных» машин. Поиск корней полиномов увенчался открытием, появились алгебраические числа. Потом заявили о себе числа трансцендентные. Разрастающееся древо познания выбрасывало все новые и новые побеги.

В начале XIX века сортировать числа принялся сын садовода, Карл Фридрих Гаусс, переняв привычки селекционера у трудолюбивого отца. Своими работами он прославил Геттингенский университет, ставший с тех пор центром притяжения для математиков. Примерно в те же годы Эварист Галуа создал необычную арифметику над конечным набором элементов. Его таблица умножения четырех «чисел», содержащая в клетках только сомножители, производит неизгладимое эстетическое впечатление. В общем, алгебраисты в смелости поисков не уступали основоположникам неевклидовой геометрии. Уильям Гамильтон понял, что в угоду сложности суперкомплексного числа, кватерниона, придется пожертвовать коммутативным законом арифметики AB≡BA. Он отсек одну ветвь, Давид Гильберт принялся за другие: данные им бледными едва различимыми красками трансфинитные абстракции бесполезно увеличивать, от суммирования они не возрастают, по определению A≡A+1.

Каждая новая математическая машина отличалась присущими одной ей деталями. Следует ли их особенности складывать в одну кучку, и если да, то есть ли смысл говорить о пределах мыслимой Вселенной? Проблемы трисекции угла, удвоения куба, квадратуры круга волновали умы не одно столетие. Оказалось, что на ряд простых вопросов в геометрии нельзя получить ответы построениями при помощи циркуля и линейки. Абель, исследуя полиномы, указал на недостаточную разрешающую силу привычных арифметических операций. Если мы ограничиваем себя в средствах, вправе ли мы считать задачи неразрешимыми, и, наоборот, если наши возможности беспредельны, то в чем состоит содержание наших проблем? Конечно, чтобы достичь чего-либо, надо разумно ограничиться. Беда рассудку, когда граница разумного все время переносится.

«Мнимые числа, – писал в 1702 г. Готтфрид фон Лейбниц, – это поразительный полет духа божьего; это почти амфибии, находящиеся где-то между бытием и небытием». Трудно подыскать, пожалуй, лучшее свидетельство опиумного действия плодов древа познания. Если мнимые числа – амфибии, то трансфинитные, уж точно, не более чем дымка от числа. Даже флюксии Ньютона заслужили более телесное прозвище «привидений». Леопольд Кронекер, вторя древним, считал, что целые числа суть творения божьи, а все остальные виды чисел – результат человеческой изобретательности. О том, какому пристальному досмотру подверглись божьи посланцы, свидетельствует определение положительных целых чисел, данное итальянцем Джузеппе Пеано:

«1 есть положительное целое число; за каждым положительным целым числом следует ровно одно и только одно положительное целое число; ни за каким положительным целым числом не следует 1; за разными положительными целыми числами следуют разные положительные целые числа; пусть некое утверждение выполняется для числа 1, и пусть всякий раз, как это происходит для некоторого положительного целого числа, оно выполняется и для следующего за ним числа, тогда это утверждение распространяется и на все положительные целые числа.»

Стремясь прикрыть уязвимые места математики броней безупречных аксиом, К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор тремя различными способами подошли к определению числа. Накопленный ими опыт лишний раз показал, что мыслимые вселенные не стремятся слиться и объяснить одну единственную, нашу. Их узор напоминает неплотно пригнанные чешуйки рыбы. При критическом обозрении между пластинами всегда обнаруживается досадный зазор. Исследования породили новые парадоксы. Выпас стада математических созданий только прибавил хлопот. Говоря языком биологии, проявили себя генетическая несовместимость и отторжение тканей, запахло всеобъемлющим кризисом математики.

Приблизимся к пугающему коллапсу с безопасной стороны. Задолго до эры книгопечатания природа изобрела свой печатный станок, репродуцируя ДНК. Кино, телевидение и радио – лишь слабое ему подражание и продолжение той же тенденции. Мощное информационное поле развивает и воспитывает людей. Человек в нем играет разве что роль электрона. На деле, неясно еще, кто кого создает и направляет, мы поле, или поле нас. Претворяя витающие в воздухе идеи в реальность, мы материализуем накопленный полем потенциал. Как это ни парадоксально, но мыслимые миры при всей их множественности – часть окружающей нас действительности, такая же, как земля под ногами и звезды над головой.

Rambler's Top100