3.2. ФОРМАЛИЗМ ЛАГРАНЖА


Взяв трудный старт, наука о движении стала развиваться. Наибольших успехов далее добился Лагранж, известный многими оригинальными находками, в частности, методом множителей (его имени) и ковариантными уравнениями аналитической механики.

Метод множителей Лагранжа касается поиска условного экстремума функции f(x) при заданном ограничении g(x) = 0. Согласно изобретенному ученым формальному приему, составляется функция L(x,λ) = f(x) + λg(x). Лагранж доказал, что искомый условный экстремум соответствует абсолютному экстремуму расширенной функции двух переменных. Его метод пользуется успехом и встречается в огромном количестве работ.

В качестве примера рассмотрим поиск направлений наибольшего и наименьшего возрастания квадратичной формы f(x) = xTAx, см. рис. 3.1. Иными словами, нас интересуют экстремальные склоны чаши, образуемой графиком функции в случае двух переменных.


Рис. 3.1. Квадратичная функция двух переменных.


Экстремальные точки будем искать на «сфере» единичного радиуса, отсюда, в общем, получим ограничение x12 + x22 +...+ xn2 = xTx = 1.

Составляем функцию Лагранжа

L(x,λ) = xTAx + λ(1–xTx),


дифференцируем ее по каждому из аргументов и приравниваем частные производные нулю. Отсюда имеем Ax–λx = 0, ||x|| = 1. Как видно, экстремальные значения квадратичной формы, равные, кстати, собственным числам ее матрицы, достигаются на собственных векторах A.

Этот вывод подтверждается смыслом закона инерции квадратичных форм. Свойства квадратичной задачи послужили в дальнейшем предметом глубоких теоретических обобщений. В механике формализм Лагранжа вылился в составление функции разности кинетической T и потенциальной P энергии механической системы, лагранжиана L(x, v) = T–P.

Лагранжиан обладает экстремальными качествами. Вдоль траектории естественного движения интеграл функции L(x,v) минимален, отсюда выводится следующее уравнение Эйлера-Лагранжа

d(∂L/∂x')/dt – (∂L/∂x) = 0.


Суть формализма постигается на примере анализа колебаний груза на пружине. Кинетическая энергия груза пропорциональна произведению его массы на квадрат скорости v. Потенциальная энергия пружины сходным образом зависит от растяжения. Отсюда легко выписывается лагранжиан L=T–P=Mv2/2–Kx2/2, К – коэффициент упругости в законе Гука. Уравнение Эйлера-Лагранжа вторит закону Ньютона

Mx''=F,


где x – смещение, сила пружины пропорциональна ее растяжению F = – Kx.

Для более сложных систем результат двух подходов также одинаков, но путь к нему оказывается разным. Подход Ньютона связан с определением проекций сил и реакций на оси координат. Облегчить труд может выбор удобного базиса. Поскольку вид уравнений движения существенно зависит от субъективных факторов, это потенциальный источник ошибок и разногласий исследователей при изучении одного и того же объекта. Другое дело, уравнения Лагранжа. Их вид не зависит от выбора базиса, он ковариантен (не зависит от выбора обобщенных координат).

Занимаясь энергетическими соотношениями, нельзя пройти мимо принципа сохранения энергии, который возник из представлений о том, что движение, также как и материя, неуничтожимо и претерпевает серию метаморфоз. Изобретатель кватернионов Гамильтон занимался механикой, он сумел придать уравнениям движения специальную форму, носящую его имя. Подход Ньютона оперирует силами, которые недоопределены. Назначив несуществующие в природе силы, получим несуществующее в ней движение. Закон сохранения энергии отсекает подобного рода варианты, так что речь идет не просто о замене обозначений, а о важном шаге теории динамических систем вперед.

Rambler's Top100