3.3. ФОРМАЛИЗМ ГАМИЛЬТОНА


В сравнении с Лагранжем, Гамильтон разрешил энергетическую проблему ровно наоборот, используя не разность, а сумму кинетической и потенциальной энергий

H (x, v) = T+P = const.


Эту формулу можно рассматривать как дифференциальное уравнение, связывающее состояние системы и скорость. Его порядок меньше порядка уравнений Ньютона и Лагранжа. Еще бы, оно отчасти содержит решение задачи на определение движения, облегчая интегрирование. В механике вместо скорости v принято рассматривать импульс движения p=Mv, этой традиции будем придерживаться далее и мы.

Принцип сохранения энергии сообщает добрую половину решения. Поэтому гамильтониан Н(x,p) называют еще первым интегралом уравнений динамики.

Закону сохранения энергии можно придать также привычную дифференциальную форму, пусть

dH/dt = (∂H/∂x)(dx/dt) + (∂H/∂p)(dp/dt) = 0.


Нулевой баланс нетрудно получить, приравняв друг другу сомножители слагаемых с точностью до знака и коэффициента пропорциональности k=M, учитывающего связь переменной p с производной x. Отсюда следует система канонических уравнений Гамильтона

dx/dt = k (∂H/∂p),
dp/dt = –k (∂H/∂x).


Напомним, что возникший в вариационной математике лагранжиан обладает экстремальными свойствами. Остается увязать вместе все факты, указав, что для консервативной системы минимум интегральной разности кинетической и потенциальной энергий достигается на движениях вдоль линий уровня функции полной энергии H.

Rambler's Top100