3.4. ФОРМАЛИЗМ ЯКОБИ


Формализм Гамильтона не подходит для описания движения тел, рассеивающих энергию. Некоторыми искусственными поправками можно спасти положение, получив гамильтониан, лишенный физического смысла, но годный к формальному употреблению. Особенность качения шарика в чаше наводит на мысль поискать поверхность, по градиенту которой (а не вдоль линий уровня) происходит естественное движение.

Поверхность чаши дает все та же квадратичная форма f(x)=0.5xTAx, где компонентами вектора x теперь служат состояние и скорость системы. Формализм Якоби связан с отысканием такой функции. Если это сделано, то движение по grad(f)=Ax описать несложно:

x' = Ax.


Метод Гамильтона допускает аналогичную интерпретацию, только в нем вектор фазовой скорости, направленный вдоль линий уровня функции полной энергии, ортогонален градиенту. В теории матриц поворот вектора на прямой угол осуществляется умножением его на произвольную кососимметричную матрицу K. Из этих соображений получаем программу, описывающую движение, протекающее вдоль линии уровня

ẋ = KAx.


Кососимметричная структура – родственник симметричной матрицы. Зеркально противоставленные друг другу относительно главной диагонали элементы матрицы K равны друг другу по абсолютным величинам и отличаются знаком, что соответствует инверсии знака в рассмотренных ранее канонических уравнениях механики.

Для систем консервативных, сохраняющих энергию, уравнения механики принято представлять в форме уравнений Гамильтона, отражающих движение по линиям уровня функции полной энергии.

Для систем диссипативных, тратящих энергию, бывает проще выяснить уравнение некоторой поверхности скольжения.

Эти иллюстрации пополнили учение о динамике новыми страницами. История последующих двух столетий наполнена утомительными поисками первых интегралов движения, сложивших теорию движения твердого тела. Постепенно математика избавилась от груза физических интерпретаций, предпочтя простоту описания обилию вариантов. Теории Гамильтона и Якоби привели к концепции пространства состояний.

Rambler's Top100