4.2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ


Пусть модель линейного объекта в пространстве состояний имеет вид

x' = Ax + Bu; y = Cx + Du,


где x ∈ Rn – вектор состояния системы, x0 = x(0); u ∈ Rm – вектор входа; у ∈ Rl – вектор выхода.

Невырожденное преобразование внутренних координат

x̂ = T–1x


не отражается на отношениях входных и выходных сигналов, такие преобразования называются эквивалентными. После подстановки матрицы математического описания объекта меняются на следующие

A = T–1AT, B = T–1B, C = CT, D = D.


Поскольку одной и той же системе можно поставить в соответствие не одну, а множество тетрад {A, B, C, D} с различным заданием матриц, она неидентифицируема. Вместе с тем, это описание избыточно. Если из всех моделей выбрать одну, опираясь на структурные признаки, то вопрос об ее однозначном определении вновь обретает значение.

Алгоритм построения интересующих нас канонических форм един и основан на следующем свойстве циклических матриц. Пусть совокупность векторов ξ, Aξ, A2ξ, … , An-1ξ образует базис, ξ∈Rn. Матрица перехода T к новому базису, составленная из координат этих вектор-столбцов, приводит A к каноническому виду Фробениуса

A = T–1AT =
0
 ... 
0
 a1n 
1
 ... 
0
 a2n 
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
0
 ... 
1
 ann 


Доказательство состоит в проверке уравнения TA=AT прямой подстановкой в него выражений для T и A.

Попутно, кроме матрицы A можно упростить B, если использовать ξ=В, что возможно для систем с одним входом. В координатах нового базиса вектор входа становится единичным ортом B = (1 0 … 0)T.

Матрица преобразования T в таком случае совпадает с матрицей управляемости односвязной системы. Важно отметить то, что остаточное число параметров канонической формы становится соизмеримым с количеством коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции односвязной системы. Оказывается, что инварианты двух таких моделей связаны между собой линейной зависимостью. Если умножить вектор состояния на матрицу пересчета коэффициентов, в новом вспомогательном базисе каноническая форма будет с точностью до знаков наследовать параметры передаточной функции. Этот дополнительный базис наиболее популярен при построении модальных регуляторов, поскольку здесь легче влиять на характеристический полином матрицы замкнутой системы.

Обсудим возможные препятствия. Подход не универсален, поскольку даже для циклических матриц выбор ξ=В не всегда приводит к желаемому результату. Впрочем, это касается только неуправляемых систем, а таковые имеет смысл редуцировать с тем, чтобы упростить задачу. Значительно большая неприятность состоит в том, что циклическая последовательность векторов стремится к главному собственному вектору матрицы A, последние члены последовательности нередко так мало отличаются от него, что матрица T оказывается крайне плохо обусловленной. Обходной маневр состоит в построении вспомогательной канонической формы непосредственно по передаточной функции, если таковая известна заранее.

К сожалению, ни основная, ни какая-либо вспомогательная каноническая форма управляемости не дает информации о том, как вектор состояния связан с входными и выходными сигналами. При моделировании реакций системы с нулевыми начальными условиями неизвестной взаимосвязью можно пренебречь. Принципиальный выход из положения дает построение канонической формы наблюдаемости односвязной системы выбором ξ=СT. В этом случае циклическая последовательность векторов строится с транспонированной матрицей системы ξ, ATξ, ATξ … , а переход к новому базису осуществляется на основе матрицы T, инверсной по отношению к транспонированной матрице наблюдаемости.

Каноническая форма наблюдаемости решает проблему определения вектора состояния по входным и выходным сигналам для остальных форм, так как они связаны между собой в основном матрицами управляемости или наблюдаемости. Впрочем, препятствие в виде плохой обусловленности последних разрастается здесь до ощутимых размеров, ибо обходные пути отсекаются. У многосвязных систем канонические формы по этой причине делают блочными. Связь с параметрами передаточных функций усложняется, вспомогательные строчные и столбцовые формы целесообразно искать для ограниченного класса систем.

Rambler's Top100