4.3. КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА НАБЛЮДАЕМОСТИ


Рассмотрим односвязную систему с передаточной функцией

Q(p) = d + (βn–1pn–1+...+β1p0) / (pnn–1pn–1+...+α1p0)


и строчной канонической формой наблюдаемости вида

x' = Ax + Bu; y = Cx+Du,



A=
0
1
 ... 
0
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
0
0
 .... 
1
 an1 
 an2 
 ... 
 ann 


B =
 b1 
 ... 
 bn–1 
 bn 

C=
1
0
 ... 
0
D =
 d 


К этой канонической форме приводит эквивалентное преобразование координат с матрицей, инверсной транспонированной матрице наблюдаемости Wc = [СT, ATСT, (AT)2СT,…,(AT)n–1СT], т. е. T = (WcT)–1. Вектор состояния связан с входными и выходными сигналами

x1
x2
x3
...
xn
=
y
y'
y''
...
y(n–1)
d0...0
b1d...0
b2b1...0
............
bn–1bn–2...d
*
u
u'
u''
...
u(n–1)


Вид канонической формы одинаков для непрерывных и дискретных динамических систем, для объектов вида

xk = Axk + Buk; yk = Cxk + Duk,


вектор состояния вычисляется следующим образом

x1(k)
x2(k)
x3(k)
...
xn(k)
=
ykn+1
ykn+2
ykn+3
...
yk
d0...0
b1d...0
b2b1...0
............
bn–1bn–2...d
*
ukn+1
ukn+2
ukn+3
...
uk


Применяя преобразование Лапласа к производной вектора состояния px = Ax+Bu, получим x = (pE–A)–1Bu и далее y = Cx+Du=(C(pE–A)–1B+D)u. Отсюда следует, что

Q(p)=C(pE–Ax)–1B+D.


Однозначный переход в противоположную сторону, от коэффициентов передаточной функции к параметрам матриц пространства состояний возможен, разумеется, только для канонических форм. Тем самым, теория эквивалентных преобразований прокладывает мост между различными видами описания линейных динамических систем.

Коэффициенты знаменателя передаточной функции Q(p) с точностью до знака совпадают с коэффициентами фробениусовой матрицы ani = –αi–1, коэффициенты числителя связаны линейным преобразованием с коэффициентами вектора входа, а именно:

βn–1
βn–2
βn–3
...
β0
=
10...0
αn–11...0
αn–2αn–1...0
............
α1α2...1
*
b1
b2
b3
...
bn
.


Обозначим две попавшее в наше поле зрения теплицевы матрицы так

L=
1
0
 ... 
0
 αn–1 
1
 ... 
0
 αn–2 
 αn–1 
 ... 
0
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
 α1 
 α2 
 ... 
1
L=
 d 
0
 ... 
0
 b1 
 d 
 ... 
0
 b2 
 b1 
 ... 
0
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
 bn–1 
 bn–2 
 ... 
 d 



С их помощью уравнения связи для параметров и для сигналов записываются короче

a=–α, B = L–1β, d=D, x=Y–LU,


где α, β ∈ Rn – векторы параметров передаточной функции; a ∈ Rn – коэффициенты нижней строки фробениусовой матрицы A; Y, U ∈ Rn – векторы выборок измерений входных и выходных сигналов и их производных.

Столбцовая каноническая форма. Пусть тетрада {A,B,C,D} приведена к канонической форме наблюдаемости. Столбцовая каноническая форма наблюдаемости получается эквивалентным преобразованием с матрицей вида L–1. Оно сводит вектор входа B к β, т. е.

A = L A L–1, B = L B, C = C L–1, D = D,


коэффициенты модели с точностью до знака совпадают с коэффициентами передаточной функции

A =
 –αn–1 
1
 ... 
0
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
 –α1 
0
 ... 
1
 –α0 
0
 ... 
0
B=
 βn–1 
 ... 
 β1 
 β0
C=
1
0
 ... 
0
D =
 d 


Доступ к вектору состояния осложняется x = L(Y – LU).

Rambler's Top100