4.6. МНОГОСВЯЗНЫЕ СИСТЕМЫ


Блочная каноническая форма наблюдаемости имеет вид

x'=Ax+Bu; y=Cx+Du,


A =
 A11 
  A12 
  ... 
  A1l 
  A21 
  A22 
  ... 
  A2l 
  ... 
  ... 
  ... 
  ... 
  Al1 
  Al2 
  ... 
  All 
B =
 B1 
 B2 
 ... 
 Bl 

C =
1
0
 ... 
0
*
*
 ... 
*


Она является продуктом эквивалентных преобразований системы с матрицей, построенной из фрагментов матриц наблюдаемости для каждого из выходов. Диагональные блоки блочной фробениусовой матрицы A наследуют структуру, изученную ранее у односвязных систем. Внедиагональные блоки отличаются от фробениусовых отсутствием угловой единичной матрицы. Они содержат только нижние отличные от нулей строки. Матрицу C образуют орты, отражающие очередность следования строк C в матрице, построенной из столбцов Wc = [СT, ATСT, (AT)2СT, … , (AT)n–1CT].

Вектор состояния каждой подсистемы находится подобно вектору состояния первой подсистемы

x1
x2
x3
...
xk
=
y1
y'1
y''1
...
y1(k–1)
i=1:m
d1i0...0
b1id1i...0
b2ib1i...0
............
bk–1,ibk–2,i...d1i
*
ui
u'i
u''i
...
ui(n–1)


Блоки матриц L, L наследуют теплицеву структуру от матриц связи сигналов и параметров односвязной системы:

L =
 L11 
 L12 
 ... 
 L1l 
 L21 
 L22 
 ... 
 L2l 
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
 Ll1 
 Ll2 
 ... 
 Lll 
L =
 L11 
 L12 
 ... 
 L1l 
 L21 
 L22 
 ... 
 L2l 
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
 Ll1 
 Ll2 
 ... 
 Lll 


Прямоугольные внедиагональные клетки блочных матриц приходится наращивать нулями или усекать сверху.

Основные проблемы кухни канонических форм многосвязных систем начинаются с попытки установления связи параметров их матриц с коэффициентами передаточных функций и нахождения вектора состояния через измерения входных и выходных сигналов и их производных в соответствии с делением модели системы на подсистемы.

Связь параметров и сигналов по-прежнему укладывается в формулы

a = –α, B = L–1β, d = D, x = Y – LU.


где α, β – матрицы коэффициентов передаточных функций; a – расширенный вектор параметров блочной матрицы A; Y, U ∈ Rn – векторы выборок измерений входных и выходных сигналов и их производных.

Значительное упрощение матрицы системы возможно при использовании базисов ее инвариантных подпространств. Последовательность векторов ξ, Aξ, A2ξ, … , Ak–1ξ образует базис цикличного инвариантного подпространства Rk тогда, когда Akξ линейно зависит от предыдущих векторов.

В координатах расщепленного пространства Rk + Rg + …+ Rq = Rn матрица канонической формы приобретает блочную диагональную структуру A, называемую естественной нормальной формой матрицы A. Если каждый вектор последовательности зависит от всех векторов своей цепочки и векторов предыдущих цепочек, то соответствующие инвариантные подпространства вложены друг в друга Rk ⊂ Rg ⊂ … ⊂ Rq = Rn. Каноническая форма матрицы A приобретает нижний квазитреугольный вид. Все же, вряд ли разумно всегда жертвовать ресурсами управляемости и наблюдаемости в угоду простоте внешнего вида модели.

Метод редукции, рассмотренный в предыдущем разделе, указывает простой путь нахождения передаточных функций многосвязной системы от любого входа к любому выходу на основе частных канонических форм для односвязных подсистем.

Более громоздкий подход связан с построением блочной фробениусовой формы. Основная сложность теории канонических форм многосвязных систем связана с нарушением регулярности блоков приводящих структур вследствие возможной асимметрии их размеров. Внедиагональные клетки блочной теплицевой матрицы L, необходимой при построении вспомогательных структур, вместо треугольных становятся трапециевидными. Материал становится труднообозримым настолько, что в ряде работ это естественное для односвязных систем направление вообще не рассматривается. Вместо него в расчет принимаются иные соображения, ведущие к преимуществам, охотно используемым при синтезе регуляторов.

Rambler's Top100