5.2. МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ СИЛЬВЕСТРА


Синтез систем автоматического управления нередко сводится к решению какого-либо стандартного матричного уравнения. Наиболее известны линейное матричное уравнение Ляпунова и нелинейное матричное уравнение Риккати (оптимальный синтез по квадратичному критерию качества). Стандартные уравнения выделять выгодно, они привлекают внимание специалистов по вычислительной математике, обеспечивающих их квалифицированное решение. Вычленим матричное уравнение, персонифицирующее проблему модального синтеза.

Пусть линейная динамическая система имеет вид

x'=Ax+Bu, y=Cx,


где A – матрица системы (квадратная, n–го порядка), B – матрица входа размера nxm, C – матрица выхода размера lxn; x, u, y – векторы состояния, управления и выхода соответственно.

В задаче модального синтеза при помощи линейных обратных связей по состоянию u = – Kx требуется синтезировать матрицу замкнутой системы с желаемым спектром Q = A – BK, который надо уметь задавать.

Получаем матричное уравнение

A – Q=BK


Представим матрицы разомкнутой и замкнутой систем разложениями в базисах их собственных векторов

A = VDV–1, Q = SJS–1,


где D, J – диагональные, в частности, а в общем – жордановы, матрицы собственных значений; V, S – матрицы собственных векторов.

С учетом разложения Q, после умножения матричного уравнения справа на S и группировки членов, имеем

AS – SJ = BKS.


Это уравнение нелинейно относительно неизвестных S и K. Вследствие умножения на S, оно приобрело лишние корни: ему будут удовлетворять не только тривиальные (нулевые) решения S и K, но также вырожденные матрицы. Поэтому его следует дополнить условием det S ≠ 0.

Параметризуем правую часть уравнения с помощью неопределенного матричного множителя M, исключающего нелинейную составляющую так, что KS = M, тогда

AS – SJ = BM.


Получаем стандартное матричное уравнение Сильвестра, линейное относительно S. Решив его, несложно далее вычислить матрицу обратных связей линейного регулятора

K = MS–1.


В результате параметризации множество возможных решений задачи модального управления записано теперь в явной форме относительно искомой матрицы K. Оно определяется видом матричного множителя M, влияющего на правую часть уравнения Сильвестра AS – SJ = P, P = BM. Операцию придания неопределенной матрице M некоторого конкретного значения назовем замыканием уравнения Сильвестра.

Акт замыкания уравнения центральный и очень важный для придания правильного направления синтезу многосвязных систем. Через него лежит путь к обоснованному решению проблемы выбора спектра и проблемы размещения собственных векторов замкнутой системы.

Теория сообщает явный вид решения уравнения Сильвестра, совпадающего с решением S(∞) дифференциального уравнения

S' = AS – SJ, S(0) = P, тогда S(∞) = ∫t=0:∞ eAtPeJtdt,


при условии, что спектры матриц A и Q различны между собой.

Частным случаем уравнения Сильвестра является уравнение Ляпунова, получаемое при замене J на –AT, т. е. AS + SAT = P.

При синтезе систем, оптимальных по квадратичному критерию качества, встречается матричное алгебраическое уравнение Риккати

AS + SAT – STRS = P,


которое, как видно, сводится к уравнению Ляпунова при аннулировании квадратичной составляющей.

В задачах модального синтеза изменение всего спектра, как правило, нецелесообразно, поэтому указанное выше аналитическое решение уравнения Сильвестра далеко от практических нужд и носит осведомительный характер. Особый случай, оговариваемый теорией, в модальном синтезе является основным и наиболее актуальным вариантом.

Для матрицы Q с простым спектром имеем

J = diag1,... , λn), S = (S1, S2, … , Sn).


В данном случае уравнение Сильвестра допускает декомпозицию на ряд более простых подсистем

(A–λiE)Si = BMi,


где Mi – вектор столбцы M = (M1, M2, ..., Mn), i = 1..n.

Сразу обращает на себя внимание следующее.

Анализ и синтез модальных систем отличаются между собой видом правой части, в задачах анализа она нулевая.

Очевидно, это и есть самое простое замыкание уравнения Сильвестра, гарантирующее сохранение спектра.

В вырожденных задачах модального синтеза часть собственных значений не изменяются, отсюда следует факторизация матричного множителя на произвольно назначаемую и нулевую части, пусть

M = (M1, ... , Mk , 0, ... , 0)


только первые k собственных значений матриц разомкнутой и замкнутой систем различны между собой.

Следовательно, операция замыкания уравнения Сильвестра связана с относительно небольшим количеством произвольно назначаемых коэффициентов. Остальные находим из условием совместности. При совпадении λi с одним из собственных значений матрицы A их выбор весьма стеснен, но есть рациональная форма решения, регламентирующая оставлять собственные векторы такими, какие они есть у матрицы разомкнутой системы. Различие, которое вносит модальный подход как возможная альтернатива оптимальному подходу при квадратичном критерии качества, обуславливается более простым видом линейного уравнения Сильвестра в сравнении с уравнением Риккати, которое, к тому же, невозможно подвергнуть указанной декомпозиции на составляющие.

Итоговые уравнения модального синтеза отличаются от уравнений анализа незначительно, имеем

(A – λiE)Si = BMi; i = 1..k ; (A – λjE)Sj = 0 ; j = k+1..n.


Отметим, что у многосвязных систем кроме проблемы размещения спектра возникает проблема размещения собственных векторов, поскольку правая часть уравнений допускает некоторую вариацию.

Матричный множитель M изобретен нами как удобное методическое средство, упрощающее некоторые выкладки и, в частности, удобное для оптимизации структуры собственного пространства. Однако можно обойтись и без него. Пусть L = (E – BB+), альтернативный вид уравнений модального синтеза выглядит единообразно

L(A – λiE)Si = 0, i=1..n.


Умножение на вырожденную матрицу L отражает расширение областей, в которых можно искать собственные векторы матрицы Q по сравнению с тесными границами инвариантных подпространств матрицы A. Чем больше входов имеет многосвязная система, тем более вольно могут избираться ее собственные векторы. Теоретически возможен синтез, оставляющий на месте спектр и изменяющий только собственные векторы. Эту оригинальную идею следует иметь в виду, перечисляя возможные варианты замыкания уравнения Сильвестра.

Традиционный путь решения задач модального синтез опирается на канонические формы динамических систем, позволяющие прямо назначать не спектр, а коэффициенты характеристического уравнения матрицы замкнутой системы. Для многосвязных систем проблема поиска канонической формы управляемости выливается в мало приятную процедуру выбора состава и объемов фробениусовых клеток. Обусловленность эквивалентных преобразований, как правило, оставляет желать лучшего. Кроме того, синтез регуляторов сопряжен с аннулированием коэффициентов внедиагональных блоков. Такого сорта решения навязаны соображениями вычислительной простоты, они не учитывают динамику объекта.

Представленные выше уравнения описывают альтернативный подход, объективно лишенный указанных недостатков. Его преимущества может подчеркнуть обоснованный выбор коэффициентов матричного множителя M. Это важный рычаг управления решением, которым следует осмотрительно пользоваться. И тогда алгоритмы модального синтеза становятся непосредственным продолжением алгоритмов анализа.

Rambler's Top100