5.3. ЗАМЫКАНИЕ УРАВНЕНИЯ СИЛЬВЕСТРА


Желанию синтезировать обоснованный спектр матрицы замкнутой системы аккомпанирует желание не менее обоснованным образом распорядиться с варьируемыми собственными векторами. Обозначим резольвенту матрицы разомкнутой системы как R(λ)=(A–λE)–1, тогда Si=R(λi) BMi.

Свободу выбора множителя M можно употребить для придания собственным векторам матрицы Q=SJS–1, где J=D+δD, «динамически совместных» позиций вблизи собственных векторов матрицы A=VDV–1.

Вариант 1. Прямой путь к стяжке собственных векторов лежит через рассмотрение уравнений S(λi,Mi)=Vi. Минимум норме разности векторов левой и правой части доставляет нормальное псевдорешение уравнения

R(λi)BMi = Vi.


Пусть над «трудоустройством» одних собственных векторов работают другие собственные векторы. Возможны облегченные варианты.

Вариант 2. Запишем матричное уравнение Сильвестра в форме разрешенной относительно проекций S=V–1S собственных векторов Q на оси собственного базиса A

DSSJ = BM, где B=V–1B.


Правая часть уравнений является каркасом S, «раскачиваемым» смещениями собственных значений J=D+δD.

Идее сближения собственных векторов отвечает притяжение каркаса к единичной матрице. Отсюда получаем уравнение BM=E и выходим на его нормальное псевдорешение

M = B+,


как на средство, индифферентное к частностям конкретных изменений δD.

Вариант 3. В каркасе BM выбором M максимально усилим диагональные элементы, получим решение

M = B*


близкое, по сути, к предыдущему варианту, но более простое (опорное).

Разумеется, это не единственные предложения. Разнообразие вариантов отвечает свойствам вырожденных задач. С перемещением по схеме расчета сверху вниз формулы упрощаются.

Рассмотрим важный частный случай, касающийся синтеза систем с одним входом. Поскольку собственные векторы определены с точностью, как минимум, до одной произвольной постоянной, выбор величин компонент в матрице строке M можно упростить и подчинить единственно условию алгебраической совместности уравнения Сильвестра, приняв Mi=1, i=1..k. Уравнения модального синтеза приобретают особенно лаконичный и близкий к формальной постановке алгебраической проблемы собственных значений характер

(A – λiE)Si = B,


где i=1..k; для неизменяемой же части спектра (A – λjE)Sj = 0, j=k+1..n.

Обращает на себя внимание также то, что собственные векторы являются значениями векторной резольвенты

S(λ) = (A – λE)–1B,


которая, в свою очередь, с точностью до знака есть передаточная функция разомкнутой системы от входа к вектору состояния.


Все возможные варианты синтеза замкнутой системы содержит передаточная функция разомкнутой системы, являющаяся годографом собственных векторов при вариации спектра.


Констатация причудливых совпадений заходит много дальше. С учетом M = (1 1 … 1 0 0 … 0), из выражения

K = MS–1 = S1–1 + S2–1 + … + Sk–1,


легко видеть, что искомая матрица обратных связей модального регулятора является суммой левых собственных векторов (т.е. строк S–1) матрицы Q, соответствующих изменяемым собственным значениям.

В далекой от не прагматических вещей технике найденное конструкторами эффективное решение фюзеляжа самолета, обвода корпуса автомобиля, соотношения высоты и ширины здания и т.д. радует глаз эстетическими пропорциями. Переход от задачи анализа к задаче синтеза всего лишь заменой нуля правой части уравнений матрицей входа B удовлетворяет самым высоким требованиям математической эстетики. Метод обречен, в этом смысле, на успех.

На случай систем второго порядка вершина вектора S(λ) прочерчивает на плоскости кривую. Любопытны свойства этого годографа, не стоит путать его с корневым годографом, изучаемым в задачах параметрического синтеза регуляторов. Из определения легко видеть, что

λ → ξ → ± ∞, S(λ) = → – B/ξ; λ → 0, S(λ) → x0 = A–1B (равновесие);


λ → λiA, S(λ) → Vi.


При изменении собственного значения λ в диапазоне ±∞ годограф собственного вектора начинается на векторе входа B и заканчивается на нем, последовательно обходя все собственные векторы A. В непосредственной окрестности последних радиус годографа возрастает, вдоль их направлений наблюдаются сингулярности – разрывы векторной резольвенты. При нулевом значении λ годограф проходит через положение равновесия, в котором находится динамическая система после подачи на ее вход единичного ступенчатого воздействия.

Поведение годографа дает почву для выводов в отношении свойств модального регулятора.

Во-первых, ясной становится бесперспективность политики смещения собственных значений в ограниченную зону или на далекую периферию, поскольку в обоих случаях матрица собственных векторов S будет заполнена почти коллинеарными друг другу столбцами. Регулятор же зависит от инверсной к ней матрицы, поэтому указанная политика ведет к плохо обусловленным задачам и росту коэффициентов обратных связей. По крайней мере, один из собственных векторов можно найти экспериментально как x0, не располагая математическим описанием объекта.

Во-вторых, у многосвязных систем настраиваемый матричный множитель M позволяет генерировать для каждого изменяемого собственного значения свой «вход», выбирая его из линейной оболочки вектор столбцов матрицы B. Среди вариантов модального синтеза есть те, которые ориентированы на самые мощные (максимальные по нормам столбцов матрицы B) входы, это позволяет обходиться малыми величинами элементов матрицы регулятора K. На метрику задачи можно повлиять так, чтобы основное внимание уделялось направлениям, а не нормам векторов входа. Тогда решение будет инвариантно к масштабированию управлений.

Полный обзор свойств вариантов замыкания уравнения Сильвестра, включая гарантии его разрешимости, может составить предмет отдельной дисциплины в пределах темы модального синтеза.

Rambler's Top100