5.4. МЕРЫ МОДАЛЬНОГО ДОМИНИРОВАНИЯ


Понятие меры доминирования берет начало в калмановской декомпозиции системы на части вполне управляемые и вполне наблюдаемые. Продолжая идею дальше, логически можно выделить части более или менее управляемые, более или менее наблюдаемые и так далее, чему способствует модальная дифференциация системы на подсистемы. Подобно аморфному определению вероятности, функция меры не требует жесткого обоснования, привязки, хоть это и возможно, к количественным эффектам. Важно, чтобы ее экстремальные значения отражали потерю управляемости (наблюдаемости) и, наоборот, отчетливое проявление системных свойств.

Суммарное влияние входов или выходов на модальные движения описывает диагональ матрицы W-взвешенных квадратов мер модального доминирования по входу (или по выходу, в дуальной задаче)

μ = M*M = BWB*.


Варианты замыканий M = B* и M = B+ порождают весовые матрицы

W = E и W = (B*B)–1.


В обоих случаях меры изменяются в некоторых заранее известных границах (определяющих крайние случаи); предполагается, что строки V–1, содержащие левые собственные векторы A, нормированы.

В первом случае меры ограничивает сверху норма матрицы B. Во втором – меры модального доминирования заведомо неотрицательны, но не превосходят единицы, а их сумма равна рангу матрицы входа B.

В теории динамических систем большое значение придается инвариантам, каковыми являются меры, не зависящие (при аккуратном их определении) от масштабирования входных и выходных сигналов. Их значения зависят, впрочем, от выбора базиса пространства состояний, этой фикции, не влияющей на вход-выходные соотношения. Так и должно быть, ибо свойства наблюдающих устройств и регуляторов связаны с особенностями пространства-посредника.

Хорошая управляемость в одном базисе имеет свойство «переливаться» в хорошую наблюдаемость в другом. Это свидетельствует о том, что мотивированное назначение спектра должно исходить из показателей как управляемости, так и наблюдаемости.

Критерии управляемости и наблюдаемости основаны на системных матрицах. Аналогичное значение придадим матричным множителям, построенным на замыканиях уравнения Сильвестра.

Поставщиком мер может служить не только аналитическая геометрия, но и алгебра. Стоит присмотреться к вычетам передаточной функции, т.е. к коэффициентам усиления ветвей, отвечающим жордановой декомпозиции системы на параллельные подсистемы

Q(p) = B(p)/A(p) = ΣiKiQi(p), Ki = B(λiA)/Ȧ(λiA) = ПiA–λj0) / ПijiA–λjA),


где λiA – полюса, λj0 – нули динамической системы.

Как видно, вычеты Ki обладают ценным качеством. Они прямо пропорциональны произведению расстояний полюса от нулей передаточной функции и обратно пропорциональны произведению расстояний полюса от остальных полюсов. Эти отношения двух «роз ветров» учитывают взаимные положения полюсов и нулей на плоскости. К недостаткам вычетов как мер относится то, что при сближении пары полюсов они резко возрастают, что не отражает действительной роли модальных составляющих, поскольку знаки коэффициентов усиления соответствующих ветвей становятся противоположными по знаку. Полюсы антагонисты с успехом «гасят» друг друга, как две крупные державы, растрачивающие немалые силы в войне. В таких ситуациях выигрывает некто третий, слабейший.

Избранный геометрический подход выглядит более привлекательным. Нормирование левых и правых собственных векторов разрушает двойственность построенных из них базисов. Элементы нормированных матриц входа и выхода B = V-1B, C = CV отличаются от коэффициентов входа и выхода параллельных ветвей канонической формы как раз нормами левых и правых собственных векторов. Попарные произведения этих норм называются коэффициентами перекоса. Коэффициенты перекоса отражают, в свою очередь, искажение собственного базиса, поэтому сближение пары полюсов не столь катастрофично сказывается на мультипликативных мерах, учитывающих управляемость и наблюдаемость.

Собственные значения матрицы замкнутой системы принято наносить на комплексную плоскость. Для повышения информативности этой картины можно добавить дополнительную третью ось, подвешивая точки спектра над плоскостью на высоте, пропорциональной мультипликативным мерам их модального доминирования. Кроме того, можно исповедовать подход, принятый в астрономии. Звездные атласы дают хорошее представление о координатах звезды и ее величине. Учитывая проблему роя собственных значений, у этого предложения есть шансы на успех.

Понятие меры модального доминирования можно ввести, опираясь на свойства решений уравнения Сильвестра. В таком случае оно кажется более ясным по существу, но громоздким по форме, например:

Определение. Мерой модальной управляемости (наблюдаемости) называется величина, обратная по отношению к минимальной норме матрицы линейного регулятора u = – Kx (наблюдающего устройства) при переносе одного отдельно взятого собственного значения на окружность единичного радиуса в окрестности варьируемой точки спектра разомкнутой системы.

Доказательство эквивалентности различных формулировок мер оставим на потом, пока отметим гармоничное развитие темы: меры управляемости и наблюдаемости дуальных систем попарно совпадают.

Согласуя большую (критерии управляемости-наблюдаемости) и малую (меры) темы теории систем закономерно интересоваться консистентностью мер. Под консистентностью понимается возможность вынесения правильного суждения о свойствах объекта в целом на основании дифференцированных показателей. Перефразируя: вопрос сводится к выяснению того, может ли извлеченная диагональ матрицы μ служить системной матрицей управляемости или наблюдаемости?

Для объектов с матрицей A простой структуры поставленная задача решается однозначно, ибо введенные меры консистентны.

На случай кратных собственных значений требуется более гибкий подход, поскольку соответствующие собственные и, в общем, жордановы векторы свободно избираются в пределах инвариантных подпространств. Это создает трудности интерпретации их скалярных произведений с векторами входа и выхода. Тем не менее, консистентности мер можно добиться простой минимизацией их варьируемых значений.

Помимо прочего, матрица μ = BWB* служит каркасом для грамиана управляемости (наблюдаемости, в дуальной задаче). Грамианы используются в известных формулировках альтернативных системных критериев. Если представить себе грамиан как орех, то матрица квадратов мер есть ни что иное, как его ядро. Консистентность мер прямиком следует из этого примечательного обстоятельства.

Итак, мера призвана подчеркнуть степень близости к границе потери системного свойства, отчего управлять модальным движением или наблюдать его более легко или, наоборот, более трудно. Оценка «трудозатрат» в том или ином количественном выражении конкретизирует ее величину.

Неизбежная размытость меры следует из множественности целей модального синтеза: решение различных задач по-разному трудно. Одинаково отражаются предельные случаи потери управляемости или наблюдаемости, консолидирующие разные подходы к определению мер.

Rambler's Top100