5.5. АВТОМАТИЗАЦИЯ ВЫБОРА СПЕКТРА


Комплексные собственные значения матрицы системы распадаются на пары комплексно сопряженных величин λ = α + jβ и λ* = α – jβ. Согласно формуле Эйлера, элементарное движение (мода) описывается как

eλt = eαt(cos βt + j sin βt).


Система устойчива, если все ее собственные значения лежат в левой полуплоскости, см. рис. 5.1.



Рис. 5.1. Виды модальной плоскости


Среди динамических систем выделяют маятник, в режиме малых колебаний его дифференциальное уравнение имеет вид T2x'' + 2Tξx' + x = 0, где T – постоянная времени, ξ – коэффициент демпфирования колебаний. После вычисления корней характеристического уравнения выясняется, что

α2 + β2 = 1/T2; β = ± α (1+ξ2)½.


На модальной плоскости «изотаймы», т.е. линии равных постоянных времени T, образуют концентрические окружности, а «изодемпфы» – линии равных коэффициентов демпфирования – радиальные лучи. Изодемпфы с ξ>0.7 «ометают» секторы повышенной колебательности системы.

Особенности модальной плоскости, связь тех или иных ее областей с характеристиками переходных процессов, послужили первыми ориентирами для алгоритмов назначения спектра. Поскольку реализуемость решения во внимание не ставилась, задача модального синтеза в узкой ее постановке свелась к поиску матрицы обратных связей безынерционного регулятора. Что касается конкретных рекомендаций, то два часто встречаемых в научной литературе подхода представлены на рис. 5.2.

Согласно первому направлению мысли, желаемый спектр размещают внутри трапеции, учитывающей ограничения на степень устойчивости η (минимальное расстояние до мнимой оси), быстроту протекания процесса μ (максимальное расстояние до мнимой оси) и колебательность tg φ (максимальное относительное значение β).



Рис. 5.2. Методы размещения спектра


Второй распространенный подход исходит из принципа симметрии. Он регламентирует, например, равномерное размещение желаемых собственных значений вдоль дуги окружности на равных угловых расстояниях друг от друга.

Некоторое обоснование такое решение находит в положительных качествах фильтра Баттерворта, наделенного симметричным спектром. Однако реальные динамические объекты тем и отличаются от конструируемых из податливых элементов фильтров, что их свойства зависят от нелегко изменяемых компонент. Если идти на поводу у обоих подходов, то мы заставим ротор электростанции и шестерню сервопривода двигаться одинаково. Есть ли хоть капля здравого смысла в такой унификации?

Модальный синтез систем не наделен, в общем, надежными ориентирами для выбора спектра матрицы замкнутой системы. Принципиальная, хотя и несколько ограниченная свобода изменения собственных значений делает нелепой любую попытку утвердить единственно верный вариант назначения спектра также, как в шахматах нет единственно верных ходов за белых или за черных, выигрывающих партию. Правильнее будет не очерчивать жесткие контуры назначения спектра.

Нашу рекомендацию назовем принципом равных пропорций. Вот его содержание.

Принцип равных пропорций. При последовательной коррекции спектра величины изменений собственных значений следует выбирать прямо пропорциональными мерам их модального доминирования (модальным массам). Чем выше мера, тем более глубокая вариация возможна для точки спектра.


В шахматах, кстати, есть все особенности интересующей нас проблемы выбора решения на множестве вариантов.

Во-первых, знание фигур не определяет умение ими играть, также, как знание способов синтеза матрицы обратных связей не определяет содержание концепции модального синтез. Во-вторых, каждое положение фигур на шахматной доске характеризуется разным их весом в игре, изменение позиции приводит к перераспределению значимости фигур, можно даже сходить неудачно, также, как изменение спектра приводит к значительному перераспределения значений мер модальной управляемос-ти и наблюдаемости. Так что золотое правило шахматной игры: «не знаешь зачем – не ходи» имеет к проблеме подвижки спектра непосредственное отношение.

Спектр простых собственных значений справедливо сравним с развернутым пешечным строем. Роль шахматных фигур в модальной проблеме играют жордановы блоки разной величины. Перемещение точек спектра «наобум» соответствует, очевидно, такому изменению шахматной позиции, в которой мы рискуем оказаться под шахом, отдать ладью за коня и прочее и прочее. Над составлением шахматных программ пришлось поработать вдумчивым аналитикам. Эффект превзошел самые смелые ожидания. Современная шахматная программа бросает вызов чемпиону мира.

Нечто аналогичное предстоит сделать и с модальным синтезом. При этом потребуются формальные оценки «позиций» полюсов, которые дают меры модального доминирования. При изменении спектра оценки меняются, синтез выливается в многоходовую процедуру.

Поясним перспективную концепцию выбора желаемых собственных значений наглядным примером, взятым из механики.

Представим себе пружинную конструкцию, в которой передача воздействия от точки приложения силы к точке снятия реакции происходит через растяжение и сжатие пружин. Распределение передаваемого усилия по пружинным мостикам происходит неравномерно, кроме того, сами пружины обладают разной упругостью. Когда упругих элементов много, также как много прилагаемых к конструкции сил и точек съема, главная наша забота перестает увязываться с каждой пружиной в отдельности.

Вхождение в степени их растяжения или сжатия становится нелегким занятием. Некими обратными связями от выходов к входам, точкам приложения сил, следует стянуть конструкцию так, чтобы она попросту стала жесткой (исходя из резервов крепости ремня, конечно).

Распределяя спектр на комплексной плоскости произвольным образом, мы, пользуясь этой верной по существу дела аналогией, предписываем каждой пружине то, сколь жесткой ей должно быть. Абсурдность подобного предложения видна при выходе на реалии этого дела. На деле же может оказаться так, что стянуть удаленные от точек приложения сил и точек съема периферийные пружины невозможно. Более того, этого и не нужно делать, ибо другая часть упругих элементов будут передавать практически все усилие от тяг, беря на себя основную нагрузку.

Модальный синтез обременен показателями, с которыми он справиться не может. Для многосвязных систем это особенно очевидно. Также, как и собственными частотами, не следует увлекаться заданным временем протекания переходных процессов, заданным перерегулированием и т. п, ибо совсем неясно практическое значение импульсных или ступенчатых усилий, которыми реальный процесс не развивается. Полезнее выбрать некий интегральный показатель, характеризующий степень сжатия спектра, и заниматься только им.

Для того, чтобы построить автоматизированную процедуру сжатия синтеза, важно получить линейную зависимость нормы матрицы обратных связей от параметра, управляющего перемещением собственных значений. При этом они не обязательно должны двигаться равномерно по своим годографам на комплексной плоскости. Контролируя указанную норму, можно планировать процесс синтеза. Иными словами, в процессе последовательного сдвига собственных значений на комплексной плоскости всегда можно назначить предел для величины сноса каждого из них, исходя из требуемых гарантий: в зависимости от исчерпанных предыдущими действиями ресурсов («остатками» нормы), несложно переназначать предел для каждой такой операции. Оказывается, такое планирование возможно.

Продвигаясь вплотную к автоматизированным алгоритмам назначения собственных значений, назовем элементарным изменением спектра сдвиг только одного собственного значения с сохранением прочих собственных значений и собственных векторов A.

Докажем следующую теорему модального синтеза.

Теорема 1. При элементарном изменении спектра минимальная норма матрицы K обратных связей модального регулятора прямо пропорциональна радиусу окружности, на которую переходит варьируемое собственное значение, и обратно пропорционально мере модального доминирования (мере управляемости).

Доказательство. Выпишем уравнение Сильвестра на случай изменения только одного собственного значения, т.е. при k=1. Мы имеем следующие формулы

(A – λ1E)S1 = BM1, M = (M1 0 … 0), K = MS–1,


где S = [S1 V2 … Vn], Vi – собственные векторы матрицы A.

Из них видно, что матрица обратных связей зависит только от первой строки S–1, содержащей левые собственные векторы Q=A–BK. Для обозначения строк инверсных матриц привлечем индексы, это не создаст путаницы, поскольку знак инверсии сохраним.

Так как S–1S=E, первая строка S1–1 ортогональна собственным векторам V2 … Vn. Следовательно, она коллинеарна V1–1, т.е. S1–1=pV1–1, причем S1–1S1=1, так что коэффициент пропорциональности p=1/V1–1S1. Теперь мы можем без хлопот записать формулу решения K=M1S1–1=M1V1–1/V1–1S1, вектор S1=(A–λ1E)–1BM1.

Подставим разложение A=VDV–1 в выражение для S1. Вынося V и V–1 за скобки, получим очередную порцию сокрушительных упрощений, оставляющих на месте A–λ1E разность пары собственных значений

K = (λ1A – λ1)M1V1–1/V1–1BM1.


Нас интересует минимальное по норме решение. Искомый минимум достигается на максимуме значения делителя V1–1BM1. От нормы M1 норма K не зависит, этот вектор есть в знаменателе. Остается варьировать его ориентацию. Максимум произведения компонент делителя V1–1B и M1 достигается на решении M1=(V1–1B)*.

Тогда K=BTK11, K11=(λA1–λ1)(V1–1)*V1–111, μ11=M1*M1. Остались факторы, перечисленные в тексте теоремы. Доказательство ее окончено.

Сосредоточим внимание на опускаемом ранее из виду приближенном решении уравнения Сильвестра.

Теорема 2 (Малая Теорема модального синтеза). В режиме малых перемещений матрицу регулятора можно аппроксимировать суммой матриц регуляторов, реализующих элементарное изменение спектра, т. е.

K K1 + K2 + … + Kn , Ki = BTKii, Kii=(λAi–λi)(Vi–1)*Vi–1ii, μ = M*M.


Доказательство. Запишем замкнутое матричное уравнение Сильвестра в форме DSSJ = μ, разрешенной относительно проекций S=V–1S собственных векторов Q на оси собственного базиса A. Отсюда имеем

S =
 μ11/(λ1A–λ1
 ... 
 μ1n/(λ1A–λn
 ... 
 ... 
 ... 
 μn1/(λnA–λ1
 ... 
 μnn/(λnA–λn
 μ11/(λ1A–λ1
 ... 
0
 ... 
 ... 
 ... 
0
 ... 
 μnn/(λnA–λn


Легко видеть, что при сколь угодно малом изменении спектра, мотивированном к тому же мерами, внедиагональными элементами S, в конце концов, можно пренебречь. Но тогда диагональной будет и инверсная матрица, входящая в расчет регулятора K=MS–1 = MS–1V–1. Решение распадается на ряд задач, с формулами которых мы уже имели дело, занимаясь точечной подвижкой собственных значений. Доказательство окончено.

При элементарном изменении спектра справедлива следующая оценка нормы матрицы обратных связей

min ||K|| = 1/μ, |λ1A–λ1|=1.


где μ – мера модальной управляемости точки λ1A. Эта оценка применима также в отношении слагаемых, управляющих малым групповым переносом спектра.

Техника перемещения одного собственного значения – азбука модального синтеза в том смысле, что владение элементами этого аппарата освещает путь построения аппроксимационных формул для сдвига нескольких «лямбд».

На рис. 5.3 показан спектр матрицы азимутального канала поворота пространственно-механической конструкции (ПМК) радиоантенны. Не только студент, но и специалист, пожалуй, не выберет здесь «желаемый спектр», а ведь это только один из рядовых объектов автоматизации, причем, сравнительно небольшой размерности. Что же делать с роем собственных значений более сложных систем? Казалось бы, чтобы обеспечить запас устойчивости, надо подтянуть крайние правые собственные значения, расположенные в виде лепестков, но именно они описывают основные тона колебания чаши ПМК.



Рис. 5.3. Антенна и ее спектр


Демпфировать высокочастотные колебания антенны мощным сервоприводом – все равно, что стрелять из пушки по воробьям. Эффект будет примерно тот же – напрасные траты ресурсов регулятора, ведущие систему к аварии. Между тем, на рисунке, как в звездном атласе, размером точек отражены значения мер модальной управляемости собственных значений, а светимостью – значения мер модальной наблюдаемости. Наиболее управляемыми оказываются полюса сервопривода (слева), чаша антенны видна как интегратор, см. полюс в начале системы координат.

Такого сорта анализ заметно облегчает положение инженера, занятого выбором спектра. Размер роя собственных значений не позволяет заниматься каждой модой в отдельности. Желательно вмешательство «модального ветра», обеспечивающего постепенный снос полюсов, пропорциональный их «парусности» – модальному доминированию. Варьируя «силу ветра», получаем в руки контроль над ситуацией. Эти соображения несложно реализовать в программе автоматизированного выбора собственных значений, использующей формулу теоремы 2.

Алгоритмизируемая тенденция. Для непрерывных динамических систем тенденцией, положительно влияющей на улучшение свойств замкнутого объекта, по сравнению с разомкнутым, является перевод собственных значений «влево и вниз», на верхней полуплоскости, с синхронным изменением комплексно сопряженных собственных значений «влево и вверх» на нижней полуплоскости, отделяемой вещественной осью, тогда как для дискретных систем такой тенденцией может служить радиальное перемещение собственных значений к центру. Можно назначать единый или дифференцированный по подсистемам центр сжатия.

Движение точек спектра приводит к переоценке мер, модальная плоскость «живет», см. рис. 5.4.



Рис. 5.4. Годографы собственных значений


Подведем некоторый итог. Алгебраический критерий управляемости, в соответствии с замыслом Калмана, является показателем реализуемости любого спектра. Для иных оценок он слишком груб. Отсюда возникает мысль о необходимости замены пороговых критериев управляемости и наблюдаемости более гибкими мерами системных свойств. Принцип двойственности позволяет с легкостью переносить способы нахождения мер управляемости на анализ наблюдаемости. Очевидно, что хорошо управляемые, но слабо наблюдаемые собственные значения, тоже нет смысла перемещать. Попарные произведения модальных мер наблюдаемости и управляемости дают более справедливую мультипликативную оценку мер модального доминирования. Эти меры позволяют планировать и реализовывать эксперимент по изменению спектра.

Rambler's Top100