ГЛАВА 6
ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

6.1. ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ


Модель линейной однородной системы имеет вид

x' = Ax,


где x ∈ Rn – вектор состояния, x0 = x(0).

Определение. Линейная однородная система называется полностью идентифицируемой по вектору состояния, если при заданном векторе начальных условий x0 матрица параметров A может быть однозначно восстановлена за конечный отрезок времени идентификации по одной временной последовательности x= x(t).

Иначе, пара (A,x0) полностью идентифицируема или идентифицируема вполне, когда множество пар (A,x0), объединенных общностью интегральной кривой x=x(t), x0 = x(0), вырождается в точку A=A. В противном случае указанная пара неидентифицируема.

Критерий параметрической идентифицируемости напоминает критерии управляемости и наблюдаемости. Докажем это в рамках следующей теоремы об идентифицируемости.

Теорема 1. Необходимое и достаточное условие полной идентифицируемости пары (A,x0) состоит в следующем

Rank [x0, Ax0, A2x0, … , An–1x0] = n.


Матрицу в квадратных скобках будем называть матрицей идентифицируемости однородной системы и обозначать W0.

Доказательство. Опирается на разложение матричной экспоненты в конечную сумму слагаемых по степеням матрицы системы

eAt = Σi=0:p–1αi(t)Ai,


где p – степень минимального аннулирующего полинома матрицы A и αi(t) – коэффициенты интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра для экспоненциальной функции, определенной на спектре A.

Пары (A,x0), объединенные общностью интегральной кривой

x(t) = eAtx0 = Σi=0:p–1αi(t)Aix0


порождаются уравнением (A – A) x(t) = 0, следующим из равенства производных, вычисленных в силу исходной и сравниваемой однородных систем, начальное состояние фиксировано.

Функции αk(t) линейно независимыми между собой на любом интервале времени идентификации, отсюда следует

(A – A) [x0, Ax0, A2x0, … , Ap–1 x0] = 0.


Матрица A является корнем своего минимального аннулирующего полинома ранга p. Любая ее степень, выше p, выражается через предыдущие, поэтому ранг составной матрицы в квадратных скобках совпадает с рангом матрицы идентифицируемости W0. Система уравнений однозначно разрешима в смысле A = A тогда и только тогда, когда W0 невырождена. Доказательство окончено.

Следствие 1.1. Множество однородных моделей, порождаемых общностью интегральной кривой, описывается уравнением

AW0 = AW0


Любая модель A отличного от точки A = A множества, соответственно, неидентифицируема.

Следствие 1.2. Проекция произвольной точки C (матрицы притяжения) на множество, ограниченное выбором начального условия x0, имеет вид

A = C + (A – C)W0W0+


где A – матрица, наиболее близкая к С по фробениусовой норме разности ||A – С||, W0+ – псевдообратная матрица. При С = A имеем A = A.

Следствие помогает перемещаться по множеству неидентифицируемых систем, получая поведенческих двойников исходной системы на основе матрицы идентифицируемости. Среди них существует единственная система с минимальной по норме матрицей A = AW0W0+.

Следствие 1.3. Системы, у которых степень минимального аннулирующего полинома p матрицы А меньше степени ее характеристического полинома, т. е. pn, неидентифицируемы при любом векторе начального состояния x0.

К неидентифицируемым относится, в частности, система с единичной матрицей A = E. Множество однородных систем, разделяющих любую ее интегральную кривую, отслеживает выбор начального условия Ax0 = x0, не стягиваясь в точку. Для вектора единичного радиуса получаем

A=C+(x0–Cx0)x0T


Пример 1. Рассмотрим однородную систему с единичной матрицей и вектором начальных условий единичного радиуса

x' = Ax, A =
1 0
0 1
;x0 =
1/√2
1/√2
.


Ее поведенческий двойник, минимально отстоящий от устойчивой системы с C = –E, имеет матрицу вида

A = C + (x0 – Cx0)x0T = 2x0x0T – E =
0
  1 
  1 
  0 


Динамический процесс системы с вычисленной матрицей A устойчив при повороте вектора начальных условий на 900. Ее фазовый портрет совпадает с портретом системы A = E вдоль направления x0, а вдоль ортогонального направления – с портретом системы C = –E. Проекция разделяет черты исходной и проецируемой систем независимо от выбора опорного вектора начального условия, ее фазовый портрет типа седло дрейфует вслед за x0, сохраняя преемственность обоим источникам.

Следствие 1.4. Фазовый поток проекции одной однородной системы на множество неидентифицируемых систем, индуцированное парой (A, x0), совпадает с фазовыми потоками индуктора вдоль вектора x0 и проектора вдоль прочих направлений, отделенных от x0 промежуточной фазой.

Совмещение устойчивых и неустойчивых систем порождает седловые точки, такие фазовые портреты встречаются в задачах оптимального управления. С точки зрения теории идентификации оптимальное управление достигается в неидентифицируемом для полной системы «объект плюс регулятор» режиме.

Rambler's Top100