6.2. МОДАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ


Рассмотрим разложение вектора x0 пары (A, x0) в базисе собственных векторов матрицы однородной системы

A = VDV–1, D =
λ10...0
0λ2...0
............
00...λn
, V = (V1 V2 ... Vn)


где D – диагональная матрица собственных чисел, V – столбцовая матрица собственных векторов, пусть

x0 = V1ξ1 + V2ξ2 + … + Vnξn = Vξ, ξ ∈ Cn.


Нетрудно показать, что

W0 = V diag (ξ1, ξ2, … , ξn),
Wλ =
1
 λ1 
 λ12 
 ... 
 λ1n–1 
1
 λ2 
 λ22 
 ... 
 λ2n–1 
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
1
  λn 
 λn2 
 ... 
 λnn–1 


Невырожденная матрица V не влияет на ранг W0, поэтому модальный критерий идентифицируемости сводится к виду

Rank (diag(ξ) Wλ) = n.


Определитель матрицы Вандермонда Wλ равен нулю тогда и только тогда, когда среди собственных значений есть кратные. Отсюда получаем простое решение проблемы идентифицируемости.

Пара (A, x0) вполне идентифицируема тогда, когда вектор начального состояния возбуждает все собственные движения однородной системы, для некратных собственных значений Rank W0 = Rank (diag (ξ)). У систем с кратными собственными значениями Rank W0Rank Wλ < n, соответствующие собственные векторы определены с точностью нескольких произвольных постоянных и свободно избираются в пределах двумерных и более подпространств, в том числе, ортогонально x0. Такие системы заведомо неидентифицируемы. Этот вывод иллюстрирует следствие 1.3 теоремы 1.

Модальный аналог следствия 1.1, помогающий находить множество однородных моделей неидентифицируемых систем, состоит в следующем. Собственные числа и собственные векторы однозначно определяют матрицу. Если убрать из уравнений модального разложения A ряд собственных векторов (и собственных чисел), не связанных с проекциями x0, то оставшаяся часть уравнений, подобно условию AW0 = AW0, определит выбор A

AV1 = λ1V1, AV2 = λ2V2, … , AVk = λkVk, k<n.


Для анализа матриц A сложной структуры модальное описание исследуемой проблемы становится громоздким. Смысл формулировки условий ее разрешимости сохраняется, во главе угла остается возбуждение всех модальных движений, однако проекции на собственные и жордановы векторы, в общем, находятся неоднозначно. В таком случае лучший иллюстративный материал дает теория циклических инвариантных подпространств, помогающая проще обозначить границы области «неидентифицируемости».

Пример 2. Вернемся к однородной системе с единичной матрицей и произвольным вектором начальных условий

x' = Ax, A =
10
01
; x0 ∈ Rn.


В данном случае собственные значения кратные λ12=1. Соответствующие им собственные векторы избираются произвольно, в том числе, параллельно и ортогонально вектору x0. Доопределим V1=x0, отсюда условие для нахождения множества неидентифицируемых систем AV1 = λ1V1 сводится к виду Ax0 = x0. Это условие выводилось ранее из других соображений. Здесь оно иллюстрирует модальный подход, позволяющий указать вид общей для систем с матрицей A интегральной кривой x(t) = etx0.

Фазовый портрет системы с единичной матрицей A симметричен. Он образован радиальными лучами, исходящими из центра фазовой плоскости. Каждый луч, казалось бы, несет информацию об обоих собственных значениях, однако в силу кратности их влияние невозможно разделить между собой. Каков бы ни был вектор начального условия, в силу симметрии фазового потока с равным успехом можно считать, что луч образован одной причиной, возбуждено только одно собственное движение, такая система неидентифицируема. В общем случае, по тем же причинам однородная система заведомо неидентифицируема, если ее матрица имеет хотя бы две жордановы клетки с равными собственными значениями.

Rambler's Top100