6.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ


Практическая сторона дела в вопросе об идентифицируемости состоит в возможности проверить критерий еще до того, как нам стали известны параметры однородной системы.

Теорема 2. Ранг матрицы идентифицируемости W0 однородной системы совпадает с рангом матрицы, построенной на выборке динамического процесса Wτ =[x(t0), x(t0+τ), …, x(t0+(n–1)τ)]; критерий идентифицируемости можно записать в двух эквивалентных формулировках

Rank W0 = n или Rank Wτ = n.


Доказательство. Отсчеты, образующие столбцы матрицы Wτ, попарно связаны между собой матричной экспонентой Ф=e, т. е.

Wτ = [x(t0), Фx(t0), Фx(t0+τ), … ] = [x0, Фx0, Ф2x0, …, Ф(n–1)x0].


В теории матриц последовательностям ξ, Aξ, A2ξ , … , An–1ξ уделено большое внимание. Матрицы, порождающие такой базис, называются циклическими. Известно, что циклические инвариантные подпространства матричной экспоненты Ф совпадают с циклические инвариантными подпространствами матрицы A. Это означает, что в анализе ранга матрицы, построенной на циклической последовательности ξ, Aξ, A2ξ, … , An–1ξ, матрицы A и Ф взаимозаменяемы при любом ξ ∈ Rn, в том числе при ξ= x0. Доказательство теоремы окончено.

Следствие 2.1. Вычислительные методы идентификации оперируют матрицей метода наименьших квадратов P=WτWτT, построенной для выборки протяженности равной или большей n. При отсутствии шумов измерений ранг этой матрицы также служит критерием идентифицируемости:

Rank P = n.


Более глубоким следствием той же теории является то, что интегральная кривая однородной системы не покидает циклическое инвариантное подпространство L, образованное вектором x0. В то же время, она не входит во вложенные циклические инвариантные подпространства, покинуть которые будет не в состоянии. Ранг матрицы идентифицируемости можно установить по выборке динамического процесса с произвольным шагом, т. е.

Rank W0 = Rank [x(t0), x(t1), …, x(tn–1)] = dim L.


Rambler's Top100