6.4. КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ


Теорема об идентифицируемости сформулирована применительно к однородной системе, параметры которой полностью неизвестны. Вместе с тем, знание части строк не облегчает задачу восстановления остальных элементов матрицы, поскольку уравнение (A–A)W0=0 распадается на n независимых подсистем (aiai)W0=0, i=1..n. Условие идентифицируемости пары (A, x0) адекватно условию идентифицируемости пары (ai, x0), содержащей любую из строк A. Например, правомерно анализировать условие идентифицируемости однородной системы

x'1
x'2
....
x'n
=
01...0
............
00...1
an1an2...an1
x1
x2
....
xn
, x0 ∈ Rn,


при помощи общего критерия. Несколько более сильным утверждением является положение о применимости общего критерия к задаче, в которой матрица системы задана с точностью до n параметров A=A(α), α ∈ Rn.

Теорема 3. Полностью идентифицируемая однородная система невырожденным преобразованием координат z = W0–1x приводится к каноническому виду идентифицируемости

z'1
z'2
...
z'n
=
0...0α1n
1...0α2n
............
0...1αnn
z1
z2
...
zn
,
z0=
1
0
 ... 
0
.


Доказательство теоремы следует логике известного построения фробениусовой формы матрицы (или, иначе называя, сопровождающей матрицы для характеристического полинома A) подобным преобразованием T–1AT с произвольной невырожденной матрицей T=[ξ, Aξ, A2ξ, … , An–1ξ], ξ ∈ Rn. Для полностью идентифицируемой системы матрица преобразования заведомо существует, в частности, при ξ = x0, получаем T = W0, причем вектор x0 = W0z0. Доказательство окончено.

Следствие 1.3 из теоремы 1 указывает на то, что каноническая форма существует не всегда. Примером «вещи в себе» с единичной матрицей A=E является система из примера 1. Матрица T=[ξ, Eξ, … , En–1ξ] вырождена при любом выборе ξ ∈ Rn.

Следствие 3.1. Вектор неизвестных параметров A=A(a), a ∈ Rn, составляющий крайний правый столбец матрицы канонической формы, равен производной n-го порядка в новом базисе a = z0(n).

Легко проверить, что орты канонического базиса однородной системы образуют вектор начального состояния и n–1 его производные

T = W0 = [x0, x'0, ..., x0(n–1)].


Это означает, что в новом базисе последовательность производных вектора состояния в начальной точке совпадают со столбцами единичной матрицы, производная n-го порядка совпадает с параметрами

a1n
a2n
...
ann
=
0...0a1n
1...0a2n
............
0...0ann
0
0
...
1
=
z1(n)(0)
z2(n)(0)
...
zn(n)(0)
.


Задачу определения инвариантов формы A=A(a) непосредственно по виду динамического процесса раскрывает следующая теорема.

Теорема 4. Полностью идентифицируемая однородная система невырожденным преобразованием координат z = Wτ–1x приводится к каноническому виду

z'1
z'2
...
z'n
= (1/τ) ln(
0...0a1n
1...0a2n
0.........
0...1an1
)
z1
z2
...
zn
,
z0 =
1
0
 ... 
0


где Wτ = [x(t0), x(t0+τ), …, x(t0+(n–1)τ)].

Доказательство теоремы 4 родственно доказательству теоремы 3, адаптированному к дискретной системе xk+1 = Фxk. Обратный переход от матричной экспоненты дает логарифм. Подробно останавливаться на этом не будем, в данном случае обращает внимание на себя следствие, указывающее на способ идентификации систем.

Следствие 4.1. Вектор неизвестных параметров A=A(a), a ∈ Rn, составляющий правый столбец матрицы канонической формы, равен вектору состояния в новом базисе на n-ом шаге a = z(t0+nτ).

Rambler's Top100