6.5. ОБЛАСТЬ НЕИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ


Критерий идентифицируемости локализован относительно вектора начального состояния x0. Развернутое представление об условиях идентифицируемости однородных систем дает изучение областей «неидентифицируемости».

Определение. Областью неидентифицируемости Ł назовем ту область пространства состояний, принадлежность к которой вектора начального состояния свидетельствует о неидентифицируемости пары (A, x0).

Утверждение. Область неидентифицируемости Ł агрегирует в себе нуль и совокупность всех нетривиальных циклических инвариантных подпространств матрицы A.

Напомним, что подпространство L линейного пространства Rn называется инвариантным относительно матрицы A, если для каждого вектора x из L его образ Ax также принадлежит L. Структура инвариантных подпространств хорошо исследована в матричной алгебре, в частности, у матриц с простым спектром инвариантные подпространства образуются линейными оболочками собственных векторов, на которые имеет проекции вектор x0. Сами собственные векторы являются примерами одномерных инвариантных подпространств. Нулевое подпространство и все пространство называются тривиальными инвариантными подпространствами.

Векторы ξ, Aξ, A2ξ , … , Ak–1ξ образуют базис циклического инвариантного подпространства L ⊂ Rn, где k – степень минимального аннулирующего полинома вектора ξ ∈ Rn , т. е. максимальная длина цепочки линейно независимых векторов, индуцированной ξ. Степень p минимального аннулирующего полинома матрицы A ограничивает размерности возможных циклических инвариантных подпространств. Отсюда непосредственно следует, что Rank W0 = kpn.

В силу особенностей разложения матричной экспоненты интегральная кривая однородной системы не выходит за пределы L циклического инвариантного подпространства вектора x0. В то же время, она не входит во вложенные циклические инвариантные подпространства, покинуть которые нельзя по той же причине. Ранее отмечалось то, что ранг матрицы идентифицируемости можно установить по выборке динамического процесса, т. е. Rank W0 = Rank [x(t0), x(t1), …, x(tn–1)] = dim L ≤ dim Ł.

Тем самым, вопрос о построении области неидентифицируемости Ł, поглощающей совокупность начальных состояний и, как видно, процессов, по которым матрица A не может быть идентифицирована, сводится к построению всех возможных нетривиальных циклических инвариантных подпространств L ⊂ Ł ⊆ Rn.

Rambler's Top100