6.8. ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ


Мы вплотную подошли к вопросу идентифицируемости по состоянию линейных динамических систем общего вида.

Пусть модель линейной неоднородной системы имеет вид

x'=Ax+Bu,


где x ∈ Rn – вектор состояния, x0 = x(0); u ∈ Rm – вектор управления.

В теории дифференциальных уравнений существует взаимосвязь между решениями неоднородной и соответствующей ей однородной систем уравнений, а именно: общее решение первой состоит из общего решения второй и какого-либо частного решения неоднородной системы. Вопрос об идентифицируемости систем общего вида допускает аналогичную трактовку вплоть до привлечения матрицы идентифицируемости однородной системы в составной критерий.

Вместе с тем, само понятие идентифицируемости неоднородной системы сложнее предыдущего. Как показано, интегральная кривая однородной системы в любом своем фрагменте несет заключительную информацию об объекте, включая условия идентифицируемости. В качестве критерия в равной мере можно привлекать системную матрицу или матрицу выборочных значений процесса. У неоднородной системы информативность интегральной кривой зависит от активности входного воздействия.

Следует учитывать, что ближайшие аналоги рассматриваемого системного свойства, понятия управляемости и наблюдаемости, описывают потенциальные свойства системы, а не особенности строения конкретных регуляторов или наблюдателей. С этой точки зрения полная идентифицируемость, являясь атрибутом системы, а не сигнала, не должна зависеть от способа формирования тестового воздействия. Будучи потенциальным свойством, она гарантирует возможность оценивания параметров при должной активности на входе.

Активные сигналы, реализующие потенциальное свойство идентифицируемости, назовем возбуждающими. К ним относятся классические импульсное и ступенчатое воздействия. По характеру влияния на интегральную кривую, импульс в виде дельта функции на входе адекватен дополнительному запуску процесса, поскольку обеспечивает перенос вектора состояния на расстояние, определяемое вектор столбцом матрицы входа. Это известное в теории управления свойство используется при моделировании импульсных весовых функций заменой импульса на задание необходимого вектора начального состояния.

Блочная матрица идентифицируемости однородной системы по нескольким запускам процесса включает в себя системные матрицы идентифицируемости по каждому запуску отдельно. В данном случае роль таких матриц будет играть, очевидно, матрица управляемости. Тем самым мы подходим к простому обобщению известных ранее свойств, наследующему традицию выделения влияния однородной части системы в общем решении задачи. Для пользы дела приведем сначала базовое определение идентифицируемости неоднородной системы, а затем дадим окончательную формулировку критерия.

Определение. Линейная неоднородная система называется полностью идентифицируемой по вектору состояния, если при заданном векторе начальных условий x0 существует входной сигнал, при котором матрицы ее параметров A и B могут быть однозначно восстановлены за конечный отрезок времени идентификации по одной временной последовательности x = x(t). Иначе, пара ((A,B), x0) полностью идентифицируема или идентифицируема вполне, когда множество пар ((A,B), x0), объединенных общностью интегральной кривой x = x(t), x0 = x(0), вырождается в точку A=A, B=B.

В противном случае указанная пара неидентифицируема.

Теорема 3. Необходимое и достаточное условие полной идентифицируемости пары ((A,B), x0) состоит в следующем

Rank [W0 Wв] = n,


где W0 – матрица идентифицируемости соответствующей однородной системы, Wв – матрица управляемости [B, AB, A2B, … , An–1B].

Доказательство этой теоремы опирается на доказательство соответствующей теоремы для однородной системы и на приведенные ранее особенности действия разрывных тестовых сигналов, подаваемых на различные входы системы в различные моменты времени, разделенные между собой конечными отрезками времени идентификации. Разрывные импульсные воздействия позволяют оценить матрицу входа, а принцип суперпозиции гарантирует отделимость действия каждого из воздействий на систему, сводя тем самым, тестовый сигнал к серии испытаний однородной системы запусками из различных начальных условий. Доказательство окончено.

Общая теория систем включает критерий управляемости как необходимое условие минимальности модели. Неминимальная модель содержит неуправляемые части, которые могут быть идентифицированы ввиду влияния вектора начального состояния. Таким образом, системное свойство полной идентифицируемости вполне самостоятельное понятие.

Рассмотрим вопрос идентифицируемости линейных динамических систем в еще более общей его постановке.

После того, как удалось показать, что системные свойства и критерии идентифицируемости и управляемости объединяются при решении вопроса идентифицируемости неоднородных систем, велик соблазн задействовать системное свойство наблюдаемости для объектов вида

x' = Ax + Bu; y = Cx,


где x ∈ Rn – вектор состояния, пусть x0 = x(0); u ∈ Rm – вектор входа; у ∈ Rl – вектор выхода. Шансы на это дает следующая трактовка проблемы идентифицируемости систем по выходу.

Определение. Линейная неоднородная система называется полностью идентифицируемой по вектору выхода, если при заданном векторе начальных условий x0 существует входной сигнал, при котором матрицы ее параметров A, B, С могут быть однозначно восстановлены за конечный отрезок времени идентификации по одной временной последовательности у=у(t) с точностью до инвариантов канонической формы наблюдаемости.

Иначе, пара ((A,B,C), x0) полностью идентифицируема или идентифицируема вполне, когда множество пар ((A,B,C), x0), объединенных общностью интегральной кривой y = y(t) при x0 = x(0), вырождается в точку в базисе инвариантов канонического представления наблюдаемости. В противном случае указанная пара неидентифицируема по выходу.

В этом определении приходится учитывать избыточность расширенного математического описания систем, по параметрам. Известно, что эквивалентными преобразованиями, а, проще выражаясь, масштабированием вектора состояния можно менять содержимое матриц A, B, С, так что ставить вопрос об идентифицируемости их параметров не имеет смысла. Другое дело, когда структуры матриц A, B, С фиксированы и число входящих в них коэффициентов, инвариантов эквивалентного преобразования систем, сведено до минимума.

Теорема 4. Необходимое и достаточное условие полной идентифицируемости пары ((A,B,C), x0) состоит в следующем

Rank [W0 Wв] = n, Rank Wc = n,


где W0, Wв – системные матрицы идентифицируемости и управляемости, Wc – системная матрица наблюдаемости [СT, ATСT, (AT)2СT, … , (AT)n–1CT].

Доказательство теоремы не проблематично. Параметры матрицы A системы можно оценивать в рамках обычной в таких случаях блочной фробениусовой формы, соответствующей единичным ортам, составляющим содержание фиксированной матрицы выхода, т. е.

x'1
x'2
...
x'k
...
...
x'n
=
01...00...0
..................
00...10...0
ak1a2k...akk*...*
*......**...*
............
*......**...*
x1
x2
...
xk
...
...
xn
, x0 ∈ Rn.


Существование подобного канонического представления гарантируется свойством наблюдаемости. Разрывные входные импульсные сигналы теоретически снимают проблему оценивания вектора состояния, поскольку они равны нулю на основном протяжении времени идентификации. Вектор состояния канонической формы наблюдаемости однородной системы составляют выходные сигналы и их производные в количествах, определяемых размерами фробениусовых клеток. Таким образом, проблема идентифицируемости системы по выходу сводится к проблеме идентифицируемости системы по состоянию, критерий разрешимости последней задачи уже известен. Доказательство окончено.

Анализ потенциальных свойств систем важен постольку, поскольку раскрывает причины возможного расхождения гарантированно «сходящихся» алгоритмов идентификации, к которым относится известный рекуррентный метод наименьших квадратов. Нужно осознать, что причина некорректного поведения алгоритма может скрываться не в его внутренней ущербности, а в условиях применения квалифицированного инструмента, что называется, не по прямому назначению. Гарантии вычислительных методов не распространяются на сингулярные задачи.

Рассмотренные выше теоремы и критерии дают отчетливую перспективу вопроса оценивания параметров. Ни в коем случае не следует воспринимать условия реализации этих теорем как непосредственное руководство к действию. В особенности это касается импульсных тестирующих воздействий, привлекаемых исключительно в целях упрощения доказательств. Наличие сугубо теоретического решения вопроса об идентифицируемости систем не снимает трудностей практического воплощения алгоритмов параметрического оценивания в жизнь.

Rambler's Top100