6.9. ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ


Критерии управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем сформулированы как для стационарных, так и для нестационарных систем. Естественно поэтому продолжить тему идентифицируемости переходом к классу нестационарных систем, для которого об объекте известно только то, что его параметры, являясь произвольными функциями времени, входят в состав системы линейных нестационарных дифференциальных уравнений вида

x' = A(t)x + B(t)u,


где x ∈ Rn – вектор состояния, пусть x0 = x(t0); u ∈ Rm – вектор входа; A(t), B(t) – матрицы нестационарных параметров; tt0 – время, будем считать, что t0=0.

Эта задача помогает раскрыть любопытное обстоятельство, придающее исследованию системных свойств стационарных систем самостоятельный характер. Раскроем его на следующем примере.

Рассмотрим сначала класс линейных нестационарных однородных динамических систем

x' = A(t)x, x0 = x(0).


Возникает вопрос, возможно ли однозначное восстановление параметров A(t) системы при наличии полной информации о динамическом процессе x(t) = Ф(t, t0) x0. В данном случае Ф(t, t0) – фундаментальная матрица системы. Ответ, в общем, отрицательный. Сформулировать причины параметрической неидентифицируемости нестационарных систем можно следующим образом.

Теорема 5. Любая система с матрицей Â(t), отличной от матрицы исходной системы, порождает адекватный ей динамической процесс при данном начальном условии, если они отличаются между собой аддитивной составляющей

Â(t) = A(t)+K(t)(E–x(t)x(t)+),


где K(t) – произвольная матрица; x(t) – вектор решения, найденного в силу исходной системе; x(t)+ – псевдообратный по отношению к нему вектор, т. е. x(t)+ = x(t)T/x(t)Tx(t) (и при x(t)=0 имеем x(t)+=0).

Доказательство производится прямой подстановкой модифицированной при помощи аддитивной составляющей матрицы непосредственно в уравнение исходной системы, откуда видно, что уравнение это превращается в тождество, т. к. x(t) – x(t)x(t)+x(t) = 0.

Параметрическая идентификация нестационарных систем невозможна. Вместе с тем, к ним часто применяются методы, ориентированные на решение задачи идентификации так, как если бы изменяющиеся во времени параметры были постоянны [51].

Квазиидентифицируемость. Рассмотрим класс нестационарных однородных систем, которому ставится в соответствие класс стационарных систем аналогичного вида

x' = Ax, x0 =x(0).


Определение. Линейная нестационарная система называется квазиидентифицируемой (следуя Калману – вполне идентифицируемой) в момент времени t0 на заданном отрезке времени идентификации протяженности T тогда, когда ей в соответствие может быть поставлена только одна стационарная система, близкая к исходной в смысле минимума квадрата нормы разности векторов их фазовых скоростей, т. е.

t=0:T (A(t)x – Ax)T(A(t)x – Ax)dt -> min


Рассматривая линейные нестационарные системы, Р. Калман ввел для оценки свойств управляемости и наблюдаемости грамианы

GB = ∫t=0:T Ф(t,t0)x0x0TФ(t,t0)T)dt.


Его роль в теории систем точно такая же, как и у двух предыдущих грамианов. Линейная нестационарная динамическая система квазиидентифицируема тогда и только тогда, когда матрица G0 (грамиан идентифицируемости) положительно определена.

Пример 3. В литературе по адаптивным системам встречаются кривые дрейфа коэффициентов модели объекта, сопровождаемые кривыми изменения их оценок рекуррентными алгоритмами параметрической идентификации. Рассмотрим нестационарную систему с матрицей

A(t)=
0
 10 
 10cos(t) 
 10sin(t) 
 –10 
0
 10sin(t) 
 –10cos(t) 
 –10cos(t) 
 –10sin(t) 
0
 10 
 –10sin(t) 
 10cos(t) 
 –10 
0


порождающую, в частности, динамический процесс

x(t)=
1
 –1 
1
1
 –1 
 –1 
 –1 
1
 –0.4 
 0.4 
 2.5 
 2.5 
 0.4 
 0.4 
 –2.5 
 2.5 
*
 sin(15t) 
 cos(15t) 
 sin(14t) 
 cos(14t) 


Нестационарная система и ее аналитическое решение взяты из справочника Камке [22]. Нетрудно проверить, что грамиан идентифицируемости данной системы имеет полный ранг на любом отрезке времени идентификации. Более того, отрезку времени идентификации любой протяженности соответствует одна и та же стационарная система, которая аналитически точно аппроксимирует решение с матрицей А, отличающейся от матрицы А0 с «замороженными» коэффициентами (взятыми на начальном участке идентификации):

A=
0
 –11 
0
 10 
 11 
0
 –10 
0
0
 10 
0
 10 
 –10 
0
 –10 
0
,
A0=
0
 10 
 10 
0
 –10 
0
0
 –10 
 –10 
0
0
 10 
0
 10 
 –10 
0


Последняя аппроксимирует интегральную кривую нестационарной системы с быстро прогрессирующей погрешностью. Этим подчеркивается, что незначительность изменения параметров по сравнению с быстрым изменением переменных состояния вовсе не приводит, как это принято считать, к сходимости распространенных процедур параметрического оценивания к «истинным» оценкам параметров. В общем случае имеет место идентифицируемость совсем другого указанного выше типа.

Rambler's Top100