7.5. ПОШАГОВЫЕ ПРОЦЕДУРЫ


Большинство процедур параметрического оценивания основаны на непрерывном накоплении данных. Эта деталь становится их уязвимым звеном, если накапливаемая выборка неинформативна. Отсюда начинается путь к плохо обусловленным задачам, решение которых зависит от аккуратного обхождения с разрядной сеткой вычислителя. Платой за риск является ускорение процесса идентификации. Иногда эта плата видится как чрезмерная. Если незачем рисковать, то не надо и усложнять себе жизнь, связываясь с громоздкими вычислительными подходами.

Последний тезис можно материализовать на практике, опираясь на формулы обобщенного псевдорешения для небольшой выборки данных. Вырожденности опасаться не приходится, это родная стихия для такого класса методов. Рекуррентная процедура получается заменой вектора притяжения θ0 предыдущей оценкой параметров, отсюда

θk = θk–1 + Z+(Y–Zθk–1).


Среди пошаговых методов особо отметим одноточечную и двухточечную схемы. В одношаговом варианте матрица измерений представлена одной строкой Z=ZkT, Y=yk. После подстановки Z+=Zk/ZkTZk, выходим на рассмотренный ранее алгоритм Качмажа.

Для того, чтобы проложить дорогу к двухшаговой схеме, представим матрицу измерений разложением на треугольный L и ортонормальный Q (по строкам) сомножители, так что

Z =
ZkT
Zk–1T
=
||Zk||0
α||Zk||||Zk–1-αZk||
ZkT / ||Zk||
Zk–1T–αZkT / ||Zk–1–αZk||
,


где α=ZkTZk–1. Поскольку Z+=(LQ)+=QTL–1, имеем версию

θk = θk–1 + QTL–1(Y–Zθk–1).


Алгоритм ортогонализации плохо разворачивает почти коллинеарные строки Z, что не такая уж редкость среди близко отстоящих отсчетов выборки данных. Это лишний раз подчеркивает, что без эвристических приемов, таких, как искусственное прореживание, накопительные процедуры работают неудовлетворительно.

Рассмотренные алгоритмы демонстрируют здоровое консервативное начало со всеми его прелестями и недостатками. Познать их можно ближе на примере оценивания параметров дискретного объекта

xk = axk–1 + buk–1, x0 = 0,


по реакции на единичное ступенчатое воздействие uk.=1. Пусть a = b = 0.5. График переходной функции представлен на рис. 7.1.

Рис.7.1Рис. 7.2


Пусть

Zk = [xk; uk], yk = xk, θ = [a; b], θ0 = [0.25; 0.25]


Итерации одношагового и двухшагового алгоритмов идентификации нанесены на плоскость (a,b), в которой линейным уравнениям связи Zkθ=yk отвечают прямые, пересекающиеся в точке искомого решения, см. рис. 7.2. Одношаговый алгоритм (A1) уточняет оценку параметров постепенно, проекция за проекцией. Сходимость ему не светит, однако монотонное, хотя и медленное, стремление оценки параметров к точке истинного решения он обеспечивает. Притяжение этой точки зависит от тактики управления. Двухшаговый алгоритм (A2) более целеустремлен, в приведенном примере решение достигается за один такт. Для задач высокой размерности выгоды от усложнения цепочки расчета не столь высоки. Можно, конечно, реализовать некоторый смешанный вариант, но еще более перспективно обратиться к методам, изложенным в следующих разделах.

Rambler's Top100