ЧАСТЬ IV

КОМБИНИРОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ


Задачи маневрирования отличаются от традиционных задач теории управления разнообразием режимов движения. Стандартные регуляторы работают, обычно, на нижнем уровне комбинированных систем в составе исполнительных сервоприводов. Поясним содержание траекторной задачи на простом доходчивом примере.

Пусть дорога серпантином вьется в горной местности. Легко представить себе описание ее в виде линии уровня некоторой функции f(x,y)=const. При изучении динамики консервативных систем в ее роли выступает полная энергия системы. Для того, чтобы выписать дифференциальные уравнения движения, необязательно придерживаться энергетической трактовки этой функции, имеем

f' = (δfx)x' + (df/dy)y' = 0,


нулевой баланс получим, приравнивая, с точностью до знаков и произвольного коэффициента k, сомножители слагаемых

x' = kfy), ẏ = –kδfx.


Перед нами система уравнений, родственная системе сопряженных уравнений Гамильтона. Она описывает движение по избранной траектории, имеющей необходимые топологические особенности.

Теория автоматического управления была нацелена, собственно, на иные, чаще всего, интегральные показатели. Что касается вождения автомобиля по шоссе, то нас вряд ли устроит высокое качество пребывания на разрешенной полосе в среднем. Точно также нас не очень интересует даже устойчивость системы, поскольку в некоторых режимах выйти из опасной зоны можно только по неустойчивой экстремали. Наконец, если подать на вход следящей системы координаты далекой цели, то органы управления выйдут на упоры, и тогда о качестве динамического процесса говорить не придется. Для того, чтобы осуществить нужный маневр, по уравнениям траектории строится программатор, постепенно выводящий объект к намеченной позиции. Сервоприводы нивелируют динамику объекта, нередко позволяя использовать крайне упрощенное его описание.

Согласно методу Якоби, программу движения можно задавать также как скольжение вдоль градиента некоторой гладкой поверхности, проще всего – градиента квадратичной формы f(x) = 0.5xTFx. В таком случае дифференциальное уравнение выглядят несколько иначе

x' = Fx.


Для того, чтобы движение было устойчивым, матрица F должна быть отрицательно определена. Средством регулирования скорости движения служат ее собственные значения. На форму траектории в фазовом пространстве влияет как расположение собственных векторов, так и отношения величин собственных значений по отношению друг к другу. При кратных собственных значениях получаем прямолинейные траектории.

Движение вдоль линии уровня той же самой квадратичной формы получаем посредством вычисления направления, ортогонального градиенту. Поворот вектора на прямой угол осуществляет кососимметричная матрица, на случай систем второго порядка имеем

x' = KFx,
K =
0
  k 
  –k 
  0 


Несложно увидеть связь этой программы движения с полученной ранее программой в форме уравнений Гамильтона.

Не всякое программное движение выполнимо, поэтому чрезмерная жесткость программ является нежелательным фактором. Достаточно, например, поместить объект вне программной траектории, и контуру управления придется отрабатывать ошибку слежения. Темп движения задающей точки программы и форма траектории могут оказаться несовместными с динамикой объекта. В таком случае программатор настраивают. Аналитические методы настройки эффективны тогда, когда под рукой есть математическая модель объекта. В противном случае в ход идут эвристические приемы, немало их создано. Довольно эффектно выглядит адаптация задания под динамические особенности объекта снижением скорости программатора в составе метода коррекции аргумента [35].

Рассмотрим, как работают общие принципы теоретической механики (формализмы Гамильтона, Якоби, Понтрягина, Ляпунова) применительно к учебным задачам маневрирования. Приведенные ниже примеры взяты из практики компьютерного моделирования систем управления, их можно использовать для организации лабораторного практикума.

Rambler's Top100