ГЛАВА 8
ЗАДАЧИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МАНЕВРИРОВАНИЯ

8.1. УПРАВЛЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫМ РОБОТОМ


Обсудим задачу программирования движения на примере управления транспортным шестиногим роботом. Предположим, что робот перемещается по горизонтальной плоскости (x, y) и его динамика по поступательному x и боковому у направлениям движения одинакова. Количество подошв шагающего аппарата наводит на соображение преобладания сил трения над силами инерции, такого рода объекты принято описывать интеграторами. Штурман, прокладывая путь корабля, пользуется не лучшей моделью. Сервоприводы нижнего уровня в виде обратных связей стабилизируют робот на траектории, см. рис. 8.1.



Рис. 8.1


Передаточные функции симметричных контуров управления поступательным и боковым перемещениями имеют вид

Q(p) = 1/(Tp+1),


где T – постоянная времени.

Это означает, что с помощью сервоприводов робот может быть выведен заданием в любую точку пространства не ранее, чем за 3T.

Шестиногие машины появились в лесотехнической промышленности, там, где особенно важно оказывать щадящее давление на грунт и обладать повышенной проходимостью.

Полностью схема управления приведена на рис. 8.2. Программатор вырабатывает желаемую траекторию движения, подаваемую на следящие системы, образованные контурами обратных связей. Простейшим видом задания является линейная траектория. Уравнение прямой, проходящей через точки (a, 0) и (0, b), выглядит так

f(x,y) = x/a + y/b = 1.


Переменными x и у мы обозначили желаемую траекторию, реальные координаты робота пометим как x и у.



Рис. 8.2


Таким образом, динамика шагающей машины по обоим каналам описывается дифференциальными уравнениями

Tx' = –x + x, Ty' = –y + y,


роль задатчика траектории играют выходы программатора, реализующего расчет программных координат по модели

x' = kδfy = k/b, y' = –kδfy = –k/a.


Задатчик настраивается при помощи аргумента k, который влияет на скорость программной точки.

Отсюда получим полную математическую модель системы, объединяющую выписанные выше уравнения, в виде

Z' = AZ + Bk,


где

A=
 –T–1 
0
 T–1 
0
0
 –T–1 
0
 T–1 
0
0
0
0
0
0
0
0
B =
0
0
b–1
a–1
Z=
 x 
 y 
 x 
 y 


При фиксированном значении аргумента k=k0, дифференциальное уравнение описывает неадаптивное управление объектом, стробоскопический график движения изображен на рис. 8.3.

Рис. 8.3Рис. 8.4


Перемещение программной точки передается на рисунке «мухой», пока что программатор равномерно вычерчивает прямую, независимо от отставания робота. Снижая скорость полета «мухи» (по мере отставания пешехода), получим алгоритм адаптации

k = k0k1((xx)2 – (y – y)2)½,


отрицательные значения аргумента k аннулируются.

Старые методы адаптации грубы, но действенны. Изменение тактики ходьбы робота показано на рис. 8.4. Как видно, машина уже не срезает угол в погоне за целевой точкой.

Упражнения (для лабораторного практикума).

Задача 1. Пусть постоянная времени сервоприводов робота T=5 cек. При этом уместно рассматривать маневры, совершаемые в радиусе 100 м. Номинальное значение аргумента k0=5000 обеспечивает необходимую скорость программы. Промоделировать процессы в неадаптивной системе при различных стартовых положениях робота относительно задаваемой траектории. Для интегрирования уравнений использовать метод Эйлера, в котором производная заменяется отношением конечных приращений координат и времени Δ, так что Zi = Zi–1 + (AZi–1 + Bk)Δ.

Задача 2. В условиях предыдущей задачи адаптивный регулятор притормаживает задающую точку действием нелинейной обратной связи с разными значениями коэффициента k1, от 0 вплоть до 100. Отрицательные значения настраиваемого аргумента k аннулируются (что означает ожидание, характерное для начальной фазы движения).

Промоделировать процессы в адаптивной системе, построить на одном графике траектории программатора и робота.

Задача 3. Эллиптическая траектория описывается уравнением

f(x,y) = x2/a2 + y2/b2 = 1,


и проходит через те же, что и ранее, точки (a, 0) и (0, b) на осях. Система уравнений программатора имеет, соответственно, вид

x' = (k/b2)y; y' = –(k/a2)x.


Составить матрицы A и B полной модели, построить траектории робота при неадаптивном и адаптивном управлениях.

Задача 4. Составить и реализовать программу движения по «локону» Аньези, эта траектория описывается уравнением

f(x,y) = a3/(a2+x2) – y = 1.


для нее характерно то, что моделируемые дифференциальные уравнения нелинейны. Полную модель движения нельзя свести к простому виду, что не мешает применить метод численного интегрирования.

Rambler's Top100