8.3. ЗАДАЧА ЖОНГЛЕРА С МАЯТНИКАМИ


Рассмотрим приложение метода Понтрягина к синтезу системы стабилизации массивной тележки с двумя перевернутыми маятниками на платформе, рис. 8.8. Эта задача соответствует попытке удержать на ладони в вертикальном положении две наклоненные в разные стороны указки.

Фокус, казалось бы, нереальный. Так оно и есть, на самом деле, если указки одинаковы, в противном случае используется разность инерций.

Динамика объекта описывается системой линейных дифференциальных уравнений с матрицами

A =
0
1
0
0
0
0
0
0
 –m1g/M 
0
 –m2g/M 
0
0
0
0
1
0
0
0
0
 (1+m1/M)g/L1 
0
 m2g/L1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
 m1g/L2
0
 (1+m2/M)g/L2 
0
,
B =
0
 1/M 
0
 –1/L1
0
 –1/L2


Здесь М, m1, m2 – массы тележки и маятников, для примера возьмем их равными 2, 1 и 0.5 кг соответственно; L1, L2 – длины маятников 1, 0.5 м; константой g обозначено ускорение свободного падения 9.81 м/c2.

Вектор состояния x включает в себя шесть составляющих: положение и скорость пробега тележки, следом подряд угловое положение и угловую скорость каждого маятника. Синтез регулятора заключается в решении уравнения Риккати. Стробоскопическое изображение движения системы приведено на рисунке. Первый рывок перекладывает маятники по один борт тележки, затем основание выезжает в противоположную сторону, выравнивая их по вертикали, путь назад завершает стабилизацию.



Рис. 8.8

Rambler's Top100