8.4. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ


В примерах синтеза систем программного движения объекты управления описывались линейными моделями, тем не менее, трудно заранее предвидеть плюсы и минусы коррекции настраиваемых программ: контур самонастройки вносит в уравнения нелинейность.

Принципы анализа нелинейных систем изучал около века тому назад А.М. Ляпунов. Он предложил один самых популярных ныне формализмов, с которым стоит познакомиться. В задачах на определение устойчивости движения конкретный вид траектории системы играет второстепенную роль, а значит, и формализмы Гамильтона или Якоби избыточно громоздки. Ляпунов предложил использовать тот же самый математический аппарат несколько иначе. Движение строго вдоль градиента или по линии уровня некоторой функции слишком детально описывает процесс, а значит, эту функцию и не надо строить. Спускаясь в карьер, важно каждый следующий шаг делать вниз. И тогда гарантии спуска на самое его дно обеспечены. Это наблюдение допускает математическую формализацию.

В качестве «карьера» возьмем функцию, имеющую один единственный экстремум и гладкие склоны. Это может быть квадратичная зависимость, но на ее соответствие динамике объекта делается значительное послабление. Рассматривая знак скалярного произведения между вектором фазовой скорости системы и градиентом функции Ляпунова, нетрудно анализировать устойчивость. Если на всем фазовом пространстве угол между указанными векторами остается острым, то знак скалярного произведения не меняется. Вектор фазовой скорости не касается линии уровня и направлен в направлении, ведущем систему к экстремуму. Сходные идеи использованы при доказательстве монотонной сходимости алгоритмов идентификации, но там контролируется не направление, а величина шага.

Для линейных систем указанное скалярное произведение само по себе представляет собой квадратичную форму. Это очень важное замечание, поскольку знак квадратичной формы в любой точке фазового пространства можно предсказать по ее собственным значениям. Ляпунов исследовал особенности, возникающие при анализе устойчивости нелинейных систем при помощи их линейного приближения. Оказалось, что развиваемый им подход годится для широкого круга объектов, включая и нелинейные. Далее нас будет интересовать приложение метода анализа к синтезу систем программного движения с учетом ограничений на управляющие воздействия. Заметим, что метод аналитического конструирования регуляторов наталкивается в этом случае на трудно преодолимые сложности, в частности, здесь можно получить неустойчивые экстремали.

Rambler's Top100