ДОБАВЛЕНИЕ

МОДАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Ирина Ефремовна Зубер


Разработанный и используемый аппарат нелинейных систем управления не включает в себя ни преобразования подобия, ни модального синтеза, этих движущих идей теории линейных систем. Теперь мы покажем, что при довольно общих и естественных предположениях именно эта часть линейного аппарата может успешно применяться для решения основных задач синтеза и, в частности, для стабилизации нелинейных объектов.

Начнем с описания нелинейных систем, задаваемых уравнением общего вида

x' = f(x); x ∈ Rn.


в предположении выполнения условий существования и единственности его решения для всех возможных начальных условий. Эта система может быть переписана в векторно-матричном виде, называемом иногда квазилинейным,

x' = A(x)x.


где A(x) – матрица, определяемая, как показал Е. А. Барбашин, через матрицу Якоби

J(x) = δf(x)/δxT, A(x) = ∫ω=0:1 J(xω)dω.


Нелинейную систему можно рассматривать как совокупность линейных систем с постоянными матрицами A(x), где x пробегает всю область задания системы.

Будем называть спектром функциональной матрицы A(x) множество спектров указанных постоянных матриц, т.е. совокупность λi(x), i=1..n.

В отличие от линейных стационарных систем, связь между спектром матрицы и свойствами соответствующей ей нелинейной системы почти не изучена. Напомним, что связь между спектром матрицы и асимптотической устойчивостью системы формулировалась в гипотезе Айзермана в начале пятидесятых годов. Рассматривалась матрица системы с одной непрерывной ограниченной нелинейностью, спектр этой матрицы располагался в левой полуплоскости. Предполагалось, что такая система асимптотически устойчива в целом – при любых начальных условиях.

Гипотеза Айзермана была опровергнута контрпримерами. С тех пор не одно поколение математиков ищет дополнительные условия, при которых эта гипотеза окажется таки справедливой.

Для решения задач анализа и синтеза нелинейных систем управления в подавляющем большинстве случаев применяется тот или иной вид их линеаризации. Однако, как показали работы Исидори и Морена, при линеаризации системы область ее притяжения (т. е. множество начальных состояний асимптотически устойчивых траекторий) уменьшается столь значительно, что может даже стянуться в точку.

Далеко не всегда удается найти преобразование системы, при котором ее уравнения принимают вид, удобный для решения поставленных задач.

В линейном стационарном случае с этой целью вводится преобразование подобия, переводящее матрицу системы в каноническую форму Жордана или Фробениуса.

Для нелинейных систем управления преобразование, переводящее матрицу системы в жорданову форму, строится только для узкого класса почти эйлеровых систем. Эти системы были введены в рассмотрение И. А. Ахметгалеевым в семидесятые годы. Матрица называется почти эйлеровой, если она перестановочна со своей производной. Было показано, что такие матрицы имеют постоянные собственные векторы.

Почти эйлеровы системы (системы с матрицей указанного вида) ведут себя почти как линейные стационарные системы с дрейфующим спектром. Для них существуют постоянное преобразование подобия, приводящее матрицу системы к жордановой форме, допустимо модальное управление и справедлива гипотеза Айзермана.

Однако почти эйлеровы системы составляют лишь очень узкий класс интересующих нас нелинейных систем.

Для систем управления общего вида в литературе нет преобразования подобия, приводящего матрицу системы к жордановой форме. Последние десятилетия появились работы, в которых для нелинейных и линейных нестационарных систем приводятся достаточные условия существования и явный вид преобразований, переводящих матрицу системы к канонической форма Фробениуса.

Рассмотрим нелинейную систему, линейную относительно скалярного управления

x' = A(x) x + B(x)u.


Предполагается, что пара (A(x),B(x)) задана и непрерывно дифференцируема нужное количество раз. Допустимым полагаем управление посредством обратной связи по состоянию u = –K(x)x.

Определение A. Будем называть преобразование x̂ = T(x)–1x каноническим преобразованием координат первого рода, если матрица объекта преобразованной системы имеет строчную форму Фробениуса.

Определение B. Будем называть преобразование x̂ = T(x)–1x каноническим преобразованием координат второго рода, если матрица замкнутой преобразованной системы имеет строчную форму Фробениуса.

Общий вид канонических преобразований первого и второго рода и достаточные условия их существования, максимально приближенные к необходимым, содержатся в работе, еще не вышедшей из печати [72], поэтому изложим их более подробно.

Преобразованная система имеет вид

x'̂ = A(x̂)x̂ + B(x̂)u, u = -K(x̂)x̂,


причем, в силу формулы x' = Ṫ(x)x̂ + T(x)x̂̇, имеем

A(x̂) = T–1(x)A(x)T(x) – T–1(x)Ṫ(x), B(x̂) = T–1(x)B(x), K(x̂) = K(x)T(x).


Из формулы очевидно, что в отличие от линейного стационарного случая преобразование координат не приводит к подобию систем, т. е. спектры матриц A(x̂) и A(x), в общем случае, различны.

Отметим, что явное решение задачи стабилизации нелинейных систем рассматриваемого вида обычно неизвестно. Однако если система допускает каноническое преобразование хотя бы первого рода, то можно стабилизировать преобразованную систему с использованием прямого метода Ляпунова, причем функция Ляпунова преобразованной системы формируется по аналогии с линейным стационарным случаем в виде квадратичной формы с постоянной матрицей.

Достаточным условием существования канонического преобразования координат первого рода является полная управляемость системы.

Наибольшую возможность использования аппарата линейных систем управления применительно к нелинейным системам дает каноническое преобразование второго рода.

Рассмотрим общий вид канонических преобразований. Пусть ξ – производящий вектор. Формируем вектор x̂ соотношениями

x̂1 = ξTx, x̂2 = dx̂1/dt, ..., x̂n = dn–1x̂1/dtn–1,


где дифференцирование производится в силу однородной системы x'=A(x)x.

Тогда матрица преобразования координат задается формулой

TT(x,ξ) = [ξ | dξ/dt+L1ξ | … | dn–1ξ/dtn–1 + Cn1L1dn–2ξ/dtn–2 + … + CnnLn-1ξ]–1,


где Cnj – число сочетаний из n по j , LTj – матрица j-ой производной вектора состояния в силу однородной системы:

dkx/dtk = L(x)Tkx, т. е. L1T = A(x), LkT = ΣiδLTk-1xi + LTk–1A(x).


Таким образом, если указанные выше действия выполнимы (det T ≠ 0), то получен общий вид канонического преобразования первого рода. Достаточным условием существования такого преобразования является полная управляемость пары (A(x), ξ).

Для того, чтобы матрица замкнутой преобразованной системы

Q(x̂) = A(x̂) – B(x̂)K(x̂)


имела форму Фробениуса, необходимо задать производящий вектор соотношением B(x̂) = T–1(x)B(x) ≡ en (последний единичный орт).

Дифференцируя последнее тождество последовательно, формируем линейную систему относительно производящего вектора Gξ = en, тогда

GT(x) = [B(x) | F2(x) | … | Fn(x)–Σj=0:n-1CnjdjFn-j/dtj],


где Fk(x) = (Lk–1(x) – dk–1/dtk–1)B(x).

Для существования канонического преобразования второго рода необходима и достаточна невырожденность G(x) и, далее, T(G(x)). Можно показать, что выполнение этих условий гарантируется полной управляемостью пар (A(x), B(x)), (A(x), en).

Предположим далее, что для нелинейной системы указанные условия выполняются. Матрица преобразованной замкнутой системы есть матрица Фробениуса независимо от вектора обратной связи, причем вектор распределения управления превратился в последний единичный орт.

Преобразование второго рода есть усиление преобразования первого рода в том смысле, что в первом случае форму Фробениуса имеет только матрица разомкнутой системы. Известно, что нелинейную систему с матрицей Фробениуса стабилизируют, используя прямой метод Ляпунова. Покажем, что справедливо более содержательное утверждение: для нелинейных систем также, как это имеет место в линейном стационарном случае, возможно решение задачи стабилизации управлением спектра фробениусовой матрицы, т. е. модальным управлением. Утверждение нетривиально, потому что, как показано выше, матрица преобразованной системы и матрица исходной системы не являются подобными.

Зададимся множеством спектров матрицы Q(x̂) замкнутой системы Λ(x̂) = diag(λ1(x̂) λ2(x̂) … λn(x̂))T, собственные значения простые (т. е. попарно не совпадают между собой), отличаются от спектра матрицы разомкнутой системы A(x̂) и лежат в левой полуплоскости. Выберем произвольные собственные значения из этого множества и запишем спектральное разложение

Q(x̂) = S(x̂)Λ(x̂)S–1(x̂).


Матрица S(x̂) есть матрица Вандермонда, построенная на выбранных собственных значениях. Рассмотрим положительно определенную квадратичную форму

V(x̂) = x̂THx̂,


где H = S–1(S–1)*.

Тогда условие экспоненциальной устойчивости в целом преобразованной системы сводится для заданной скорости роста 2α>0 к условию

dV/dt = x̂T(2Re(Λ(x̂))H + dH/dt) < – 2αV.


Очевидно, что всегда можно выбрать спектр так, чтобы последнее неравенство выполнялось. Если выбрать спектр матрицы преобразованной системы Λ постоянным, то последнее неравенство примет вид Re λi(x̂) < –α, т.е. совпадет с условием экспоненциальной устойчивости для линейного стационарного случая. Выбранный спектр Q(x̂) обеспечивается выбором вектора обратной связи K = S–1M, M = (1 1 … 1)T.

Заметим, что попутно при этом доказано следующее нетривиальное утверждение.

Теорема (Большая Теорема модального синтеза). Для приводимой к канонической форме второго рода нелинейной системы существует и в явном виде определяется управление, при котором эта система подобна линейной стационарной системе, матрица которой имеет произвольно выбираемый спектр.

Эта теорема является естественным обобщением модальной теоремы Калмана для линейных стационарных систем. При этом мы показали, что при определенных условиях для нелинейных систем существуют нелинейные преобразования, переводящие их в линейные стационарные. Аналогичные результаты имеют место и для линейных нестационарных систем, а также нелинейных и нестационарных систем.

Отметим, что необходимые и достаточные условия существования канонического преобразования первого рода эквивалентны только условию полной управляемости пары (A(x), B(x)), а необходимые и достаточные условия существования канонического преобразования второго рола добавляют к уже приведенному требованию условие полной управляемости пары (A(x), en), где en – последний единичный орт.

Таким образом, класс систем, для которых существует каноническое преобразование первого рода значительно шире класса систем, для которых существует каноническое преобразование второго рода.

Покажем, однако, что и для этого более широкого класса систем правомерно модальное управление. Рассмотрим сначала системы специального вида

x'̂ = AT(x̂)x̂ + e1u, u = – K(x̂)x̂,


где e1 – первый единичный орт, матрица A(x̂) – матрица Фробениуса с последней функциональной строкой.

Уравнение замкнутой системы имеет вид

x'̂ = Q(x̂)x̂,


где Q(x̂) = AT(x̂) – e1K(x̂); зададимся произвольным вектором спектра матрицы Q(x̂): λ(x̂) = (λ1 … λn)T, таким, что для некоторых ε, δ>0

Re λi(x̂) < –δ, |Re λi(x̂)| > max{1, ||A(x̂)||}, |λi(x̂) – λj(x̂)| > ε,


индексы i ≠ j в условиях перебора i, j = 1..n.

Собственные векторы матрицы Q(x̂) вычисляются как

Si(x̂) = (AT(x̂) – λi(x̂)E)–1e1, i=1..n.


Заменим выражение для Si(x̂) его приближенным значением, разлагая в ряд
(E – AT(x̂)/λi(x̂))–1 и используя соотношение (AT)ke1 = ek, в данном случае ek – k-ый единичный орт.

Матрица собственных векторов S(x̂) принимает вид

S(x̂) = W(λ) diag(λ)–1 + ΔS,


где W(λ) – матрица Вандермонда, построенная на величинах, обратных собственным значениям, ||ΔS|| = O(||λ||(n–1)).

Введем в рассмотрение положительно определенную квадратичную форму V(x̂) = x̂THx̂, где H = S–1(S–1)*, и ее производную в силу системы dV/dt = x̂TL(λ,x̂)x̂.

Отрицательная определенность матрицы L(λ,x̂) обеспечивается выполнением неравенства SS*QT+QSS* < –αSS*, где α > 0.

Полагаем теперь, что мы выбрали собственные значения постоянными. Тогда условием экспоненциальной устойчивости системы является выполнение неравенства 2 S diag(Re λ) S* < –αSS*. Таким образом, приходим к следующему утверждению.

Теорема. Пусть в системе

x' = A(x)x + B(x)u, u = – K(x)x


пара (A(x), B(x)) вполне управляема и равномерно ограничена вместе со своими частными производными, T(x) – матрица управляемости.

Тогда система, полученная из исходной каноническим преобразованием первого рода x̂ = T(x)–1x стабилизируется априорным выбором спектра матрицы замкнутой системы и соответствующим модальным управлением.

В условиях предыдущей теоремы можно сделать обобщение, раскрывающее практический смысл канонических преобразований первого рода.

Для произвольного ε >0 найдется такое модальное управление преобразованной системы u = –K(x̂)x̂, что исходная замкнутая система подобна системе с матрицей Q+R, где Q – постоянная матрица с произвольно назначаемым спектром, ||R|| < ε.


Cut–outs: Movement





Rambler's Top100