КРИСТАЛЛЫ




БАЛОНИН Н.А.


Кристаллы – красивейшая многосторонняя тема. Но нас она здесь интересует не с точки зрения красот, а с точки зрения сухой математики.

МЕТОДЫ ВЫРАЩИВАНИЯ



МЕТОД ЧОХРАЛЬСКОГО | СТОКБАРГЕРА | КИРОПУЛОСА | ОБЗОР | WIKI


Метод Киропулоса, как и метод Чохральского, относится к методам с неограниченным объемом расплава. В отличие от метода Степанова, для реализации метода Киропулоса не используются капиллярные силы. Этот метод заключается в том, что выращивание монокристаллов осуществляется непосредственно в расплаве путем плавного снижения температуры.



Выращивание со свободной поверхности расплава


Методы одностороннего охлаждения растущего кристалла составляют большую группу. Метод Бриджмена и метод Стокбаргера представляют собой развитие более ранних работ Г. Таммана, И. В. Обреимова, Л. В. Шубникова и других авторов. Методом Обреимова и Шубникова впервые научились выращивать монокристаллы металлов: олова, висмута, кадмия, сурьмы, алюминия, магния, меди от 1 до 300 мм в диаметре и до 30 см длины. Расплавленный металл в пробирке с тонко оттянутым запаянным концом помещают в вертикальную высокотемпературную печь. Отличие метода Стокбаргера от метода Бриджмена состоит в иной форме тигля, обеспечивающей получение монокристаллов с определенной ориентацией. Этой же цели способствует металлический опорный стержень, охлаждающий центральный участок дна тигля.

КРИСТАЛЛ ЧЕРНОВА | РАБОТА АЛЕКСЕЯ МАКСИМОВА


Балонин Н.А., Суздаль В.С., Козьмин Ю.С. Синтез регуляторов простой структуры для управления процессами кристаллизации. Вісник національного технічного университету "ХПІ" №15 (1058) 2014 Харків с. 3-11.

Балонин Н.А., Суздаль В.С., Козьмин Ю.С. Модальное управление в системах кристаллизации. Журнал Института кибернетики и Института космических исследований "Проблемы управления и информатики" №4, 2014, с. 96-101.

СИНТЕЗ ДРАГОЦЕННЫХ КАМНЕЙ


В 1896 году французский ученый Огюст Вернейль сконструировал специальную печь с водородно-кислородной горелкой для синтеза рубинов, и началась эра промышленного производства синтетических ювелирных камней. Среди синтетических ювелирных материалов можно выделить две группы. К первой относятся камни, представляющие собой структурные и химические аналоги природных кристаллов, но отличаются составом и содержанием микропримесей. К ним, например, относятся – алмаз, рубин, сапфир, изумруд, аметист, александрит. А ко второй группе – камни, полученные в лабораторных условиях, но не имеющие аналогов в природе, например, фианит, иттрий-алюминиевый гранат (ИАГ), галлий-гадолиниевый гранат (ГГГ).



Фианиты (сырье), буля синтетического рубина и кристаллы кварца


Синтез драгоценных камней осуществляется из расплава, получаемого при плавлении шихты (в случае синтеза рубина шихта представляет собой смесь окислов алюминия и хрома). Печь сконструирована таким образом, что шихта осыпается вниз небольшими порциями в потоке кислорода, попадая в камеру горения, куда подается водород, и где расположена горелка. Здесь шихта плавится, а получившаяся капля попадает на керамическую подложку, на которой вначале образуется конус, переходящий потом в цилиндр – монокристалл. Полученный кристалл называется булей, размер которой обычно составляет в длину 5-10 см при диаметре около 2 см (современные технологии позволяют получать були до 60-70 см в длину). Для получения були среднего размера требуется около 4 часов. Полученные кристаллы обладают сильным внутренним напряжением и часто раскалываются на несколько частей.

ЧТО ОБЩЕГО У МАТРИЦ И КРИСТАЛЛОВ


У матриц с экстремальными свойствами, например, с максимальным значением детерминанта, тоже есть это качество – "кристаллизовываться". Достаточно взглянуть на работу итерационного алгоритма "выращивания" матрицы, например, пятого порядка (можно менять).

Полученная в примере матрица имеет максимальный на классе квазиортогональных матриц детерминант, уровни гистограммы модулей ее элементов соотносимы друг с другом как 6:3:2. Порядок здесь играет, очевидно, большую роль.

Матрицы высоких порядков могут иметь различные сложные структуры, на которые метод итерационного поиска (выращивания) может сворачивать, причем, необратимо.

Соотношение 6:3:2, очевидно, внутреннее свойство порядка, а не свойство итерационного алгоритма. Он только обнаруживает его. Точно также обнаруживают себя кристаллы. По сути, это некоторая отвлеченная математическая модель кристаллизации.

И там и там (матрицы и кристаллы) речь идет о задаче плотной упаковки, специальном разделе математики, возникшем еще в наблюдениях Кеплера относительно стручков гороха, шестиугольной формы снежинки и т.п.

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА


Платоновы тела – пять уникальных форм. Задолго до Платона, чье описание положено в основу названия, ими пользовался Пифагор, назвав их идеальными геометрическими телами. Древние алхимики считали, что эти тела связаны с определенными элементами: тетраэдр – огонь, октаэдр – воздух, куб – земля, додекаэдр – эфир, икосаэдр – вода, а сфера – пустота.



Платоновы тела: тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр.


Сумма всех плоских углов при вершине правильного выпуклого многогранника не превосходит 360°, это ограничивает количество таких тел. Сумма граней и вершин превосходит количество ребер на 2 (отмечали Декарт и Эйлер).

Все пять элементов являются строительными блоками Вселенной. Они создают качества ее атомов. Три первых упомянутых правильных многогранника были хорошо известны пифагорейцам, которые, понимая их замечательные математические свойства, догадывались, что эти тела каким-то образом должны быть связаны с устройством мира. По-видимому, Теэтет (V в. до н. э.) первым показал, что существует еще два правильных многогранника, а именно, додекаэдр (12-гранник) и икосаэдр (20-гранник).

Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришел. Это свойство учитывается при создании уголковых отражателей, катафотов.

У правильного многогранника – октаэдра (т. е. восьмигранника) – нет аналогов в плоском мире, т. к. он немного похож на треугольник, а немного на квадрат. Октаэдр тесно связан с кубом так называемым свойством взаимности: центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра, а центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба. Если соединять отрезками центры соседних граней куба, то эти отрезки станут ребрами октаэдра; если проделать ту же операцию с октаэдром, получится куб.

Между прочим, исходя из этого, понятно, что число вершин октаэдра равно числу граней куба, и наоборот; более того, количества ребер у них совпадают.


Додекаэдр состоит из правильных пятиугольников, которые сходятся по 3 в каждой вершине; икосаэдр – из правильных треугольников, которые сходятся по 5 в каждой вершине. Эти многогранники обладают свойством взаимности по отношению друг к другу. Построению и свойствам 5 правильных многогранников (а также доказательству того, что других не существует) посвящена тринадцатая – заключительная – книга «Начал» Евклида.

Согласно комментарию неоплатоника Прокла, структура «Начал» соответствует устройству Вселенной по Платону: она начинается с самых исходных элементов – точек и прямых – чтобы в результате придти к построению мира в целом.

Математиков Нового времени правильные многогранники интересовали главным образом в связи с совокупностями (группами) тех преобразований – поворотов и симметрий – которые переводят многогранники сами в себя. Изучение групп преобразований оказалось важным для, казалось бы, совершенно не связанных с этим вопросов.

Так, Феликсу Клейну принадлежит книга, название которой говорит само за себя: «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени». В XX в. теория групп оказалась чрезвычайно важной для квантовой механики, изучающей молекулы, атомы и элементарные частицы: та или иная группа преобразований, оказывается, является определяющей для того или иного объекта микромира.

ОКТАЭДР С МИНИМАЛЬНОЙ ТЕНЬЮ


Геометрическая интерпретация. Дан единичный куб, найти максимальный вписанный октаэдр. Двойственная формулировка. Найти минимальный октаэдр, описанный около единичного куба. Координаты ортов содержит матрица Мерсенна M3.



Ось октаэдра расположена строго вертикально, тень имеет протяженность h


Характер оптимизации и связь ее с темой плотной упаковки хорошо видны на третьем порядке. Рассматриваемая выше программа ищет октаэдр, отбрасывающий минимальную тень по оценкам любого из трех декартовых направлений (задача эквивалентна поиску матрицы Мерсенна 3-го порядка). Иными словами, самый малый по размерам сарай, в который можно запереть противотанковый еж. Визуализируем этот процесс, в 3D.

Интересно, как размещен оптимальный октаэдр. Он стоит на ребре в "позе голубя", длина тени L=21/22h/3=0.9428h. Вектор с координатами (1,1,0.5) имеет длину r=(1+1+(1/2)2)1/2=3/2 (радиус минимальной сферы, охватывающей октаэдр), именно на столько высота h=2r октаэда длиннее стороны s охватывающего его куба: h=3s/2. Длина ребра октаэдра a=21/2r. Диагональ грани куба L=21/2s, s=4r/3, отсюда L=4a/3.

МАТРИЦА ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ




Модульно-двухуровневая матрица с величиной нижнего уровня g=0.618..


Общими у матриц и кристаллов могут быть некие числовые соотношения, как в примере выше, когда были получены соотношения 6:3:2. На порядках пять и десять обнаруживают себя, "выкристаллизовываются" и иные соотношения, например, 1:g, где g – значение золотого сечения, известное в теории чисел Фибоначчи.

Напомним, что с этой темой связано признание теории квазикристаллов Дана Шехтмана, нобелевская премия 2011 года. Квазикристаллы обладают парадоксальной с точки зрения классической кристаллографии структурой, предсказанной из теоретических соображений (мозаики Пенроуза).

Модель Пенроуза, это модель на плоскости. Матрицы же представляют собой модели пространств, поскольку за ними стоят некие специальным образом ориентированные ортогональные базисы (дающие минимальные проекции ортов – "тени"). И этих матриц заметно больше, конечно, чем просто матрицы золотого сечения. Изучение матриц приводит к каталогу.

КАТАЛОГ КВАЗИОРТОГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ


МИР МАЛЫХ КРИСТАЛЛОВ – АТОМОВ


Построение периодической таблицы химических элементов Менделеева отвечает характерным периодам теории чисел и ортогональных базисов. Дополнение матриц Адамара матрицами четных и нечетных порядков создает структурный базис вложенных матричных элементов: матриц первого (Odin), второго (Euler), третьего (Mersenne), четвертого (Hadamard) и пятого (Fermat) порядков.

Несложно заметить, что порядкам 4k матриц Адамара соответствуют инертные элементы с атомной массой, кратной четырем: гелий 4, неон 20, аргон 40 (39.948) и т.п., но также и основы жизни и цифровой техники: углерод 12, кислород 16, кремний 28, германий 72.

Такое впечатление, что с матрицами Мерсенна порядков 4k–1, напротив, связано все активное, ядовитое, разрушительное и разъедающее. Но это также радиоактивные элементы – источники энергии, и свинец 207 (конечный продукт, ядовитые соли). Фтор, это, конечно, 19. Порядкам матриц Мерсенна отвечает последовательность радиоактивных элементов, называемая рядом актиния: уран 235, плутоний 239 (изотоп, который является более мощным источником атомной энергии, чем уран) и т.п. Это также щелочные металлы литий 7, натрий 23 и калий 39.

Порядкам 4k–2 матриц Эйлера (сдвоенный Мерсенн) соответствует азот 14 (основа атмосферы). Поваренная соль образована двумя "мерсенноподобными" атомами натрия 23 и хлора 35, вместе это сочетание характерно, как раз, для матриц Эйлера. Более массивный хлор с весом 35.4 немногим не добирает до адамаровой размерности 36. Крислаллы поваренной соли: куб (! т.е. характер смирный, адамаров) и октаэдр (более вызывающий, это несомненный Эйлер).

В ряду, соответствующем матрицам Ферма и их замещениям порядков 4k+1, стоит волею судьбы фермий 257. Ничего не скажешь, точное попадание. Здесь же золото 197. Медь 64 (63.547) и серебро 108 (107.868), символы электроники, недотягивают, как видно, до золота и соответствуют более скромным матрицам Адамара. Медь, с ее недалеко ушедшим от 63 атомным весом, химически активна – ее зеленые окислы хорошо известны.

С золотым сечением связан бор – атомная масса среди всех прочих элементов наиболее близка к 10 (точнее 10.8, близость атомного веса к нечетным числам тоже сказывается). Бор – достаточно сложный элемент. Бор играет запутанную роль в истории самой жизни. Строение каркаса в его структурах гораздо сложнее, чем в алмазе. Уникальный тип химической связи, которая позволяет бору поглощать любую примесь, очень плохо изучен, хотя за исследования, связанные с ним, большое количество ученых уже получили Нобелевские премии. Форма кристалла бора – икосаэдр, пять треугольников образуют вершину.

МИР БОЛЬШИХ КРИСТАЛЛОВ – МИНЕРАЛОВ








КРИСТАЛЛЫ | ГАЛИТЫ | ПИРИТЫ | КАМНИ МИРА [2] [3]


ТЕТРАЭДРИТ


Тетраэдрит – сульфид меди и сурьмы (сурьмяная блеклая руда). Образуется в гидротермальных месторождениях. Кристаллическая структура каркасного типа, в ее основе тетраэдры [CuS4], связанные вершинами и ориентированные в одном направлении. Размер кристаллов иногда достигает 15 см. Является рудой меди и сопутствующих металлов.


Габитус чаще всего тетраэдрический. Минерал может быть представлен также плотными и зернистыми массами. Цвет тетраэдрита – стально-серый до железно-черного. Он в основном непрозрачен. Есть очень редкие разновидности, слабо пропускающие розоватый свет. Блеск типично металлический, иногда довольно интенсивный. Минерал довольно твердый и тяжелый. Хрупок, излом неотчетливо полураковистый. Форму тетраэдра передает также кристалл сурьменистого сернокислого натрия.

ГАЛИТЫ И ПИРИТЫ


Простейшие представители кубических кристаллов – галиты (поваренная соль: хлорид натрия NaCl) и пириты (сернистое железо FeS2).



Галит и пирит


Галит – распространенный минерал. Название: от греческого «галос» – море, соль. Синоним: каменная соль. Относится к классу галогенидов (галоидов). Пирит, серный колчедан, железный колчедан – минерал, сульфид железа. Греческое название «камень, высекающий огонь» связано со свойством пирита давать искры при ударе. Благодаря этому свойству использовался в замках кремневых ружей и пистолетов в качестве кремня (пара сталь-пирит).

В кристаллической решетке поваренной соли отрицательные ионы хлора образуют плотную кубическую упаковку. Предполагается, что октаэдрические пустоты между ними заполнены положительно заряженными ионами натрия. Таким образом, каждый атом хлора окружен шестью атомами натрия, а каждый атом натрия – шестью ионами хлора. Однако почему бы, если речь идет о плотной упаковке, октаэдру не занять более выгодное положение?

Оба минерала, и галит и пирит, помимо кубических, образуют октаэдрические кристаллы. Не исключено, что различие форм связано, как раз, с различием упаковок. Есть и еще один кристалл пирита, пентагондодекаэдр, – объемная фигура с двенадцатью гранями в форме неправильных пятиугольников. Визуально он похож на платоновский додекаэдр, но имеет не икосаэдрическую, а тетраэдрическую симметрию. Тем не менее, при указании естественных платоновых тел, в роли додекаэдра часто упоминают пирит.



Пирит в форме октаэдра и пентагондодекаэдра



Минерал Уваровит



ОКТАЭДРИТЫ


Почетный октаэдрит, алмаз, – единственный драгоценный камень, состоящий из одного элемента (углерода). Существуют двенадцатигранные додекаэдры. Название, возможно, происходит от греческого «адамас» (непобедимый, непреодолимый) или от арабского «ал-мас» (персидское «элма») – очень твердый. Форма кристалла нечетко выражена.


Другое дело – шпинель и анатаз. Минерал шпинель – сложный оксид магния и алюминия MgAl2O4. В этой структуре каждый ион магния окружен четырьмя ионами кислорода, а каждый ион алюминия – шестью ионами кислорода. Ион магния может замещаться ионом двухвалентного железа (цейлонит, плеонаст, герцинит), ионом цинка (ганошпинель, ганит) или ионом марганца. Алюминий может замещаться хромом (пикотит, хромит) или трехвалентным железом (хлорошпинель).



Алая шпинель и синяя двуокись титана: анатаз


Анатаз – минерал, редкая разновидность двуокиси титана. Название минерала происходит от греческого слова «протяженный», кристаллы анатаза имеют вытянутую форму и напоминают правильные восьмигранники, или октаэдры. Это название было присвоено камню французским минералогом Р.Ж. Гаюи в 1801 году. С формой кристалла связано также название камня октаэдрит. Другие названия – шерл синий и руда титановая пирамидальная.

ЗАГАДКА ПЛАТИНЫ


Пятый элемент, это, без сомнения, благородные металлы, такие, как золото. Надстройка над адамаровой размерностью 4k, на 1 большие. Вспомним, все же, что числа Ферма встречаются редко (ближайшее – 257, фермий). Кристаллы самородного золота имеют форму, близкую к кубу, но и пентаграмма просверкивает. Его ближайший сосед, платина, благородный металл, отстоит от золота 197 по атомному весу меньше, чем на 4. Платина имеет атомный вес не 193, а несколько повышенный, 194 (порядок матриц Эйлера). Мелочь, но это переносит ее в стан несколько более агрессивных элементов. Стоит вспомнить, в связи, что при ее инертности (растворяется, разве, в царской водке), платину используют как активный катализатор химических процессов. Губчатая платина при комнатной температуре воспламеняет водород. Характер у платины вовсе не мирный, смирнее себя ведет иридий 192 (смесь изотопов 191 и 193). Это, скорее, медь, но с весом и характером золота.


ПИРАМИДЫ КВАРЦА И СЕРЫ


Встретить в природе идеализированные платоновы тела можно, как видно, но очевидно, что значительно больше переходных форм. Так, например, кварц имеет форму шестигранных пирамид с трех или шести треуголным навершием. Кристаллическая сера образована одним элементов, одноименным с кристаллом, но надо помнить, что элемент этот сложный. Более стабильную форму имеет флюорит, но зато велико разнообразие его по цвету и оттенкам.



Кристаллические кварц и природная сера



Разноцветные кристаллы флюорита

Rambler's Top100