ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ


Еще в начале прошлого века Алексей Николаевич Крылов писал, что "математика в современном своем состоянии настолько обширна и разнообразна, что можно смело сказать, что в полном объеме она уму человеческому непостижима, а следовательно, должен быть сделан строгий выбор того, что из математики нужно знать...

Европейские народы унаследовали свою культуру от древних греков, населявших побережье восточной части Средиземного моря, главным образом теперешнюю Грецию.

Само собой разумеется, что в то время геометрию изучали взрослые юноши, а вернее, в часы досуга зрелые бородатые мужи, искушенные в словопрениях перед судилищами и ареопагами, ибо лишь они могли оценить всю тонкость оргики Евклида; теперь же в Англии в буквальных переводах мучают 12– и 13-летних мальчиков, и можно лишь удивляться, как общество "Защиты детей от жестокого обращения и покровительства животным" это допускает".


Что сказал Крылов, лучше не скажешь. Пройдемся вкратце по истории учения о пропорциях, созданного древними греками.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА


Алгоритм Евклида – в оригинале формулируется вовсе не как арифметический алгоритм, это, скорее, геометрическая идея, и на эту тему приводятся наглядные геометрические же интерпретации: сколько раз метр b уложится в рулон материи a, допустим, и сколько раз отрезок куска r = a–qb уложится в метре.

Собственно, вот он, этот алгоритм.

Для a=225 и b=10, получим последовательные кратности (фракции) q0=22, q1=2. Изменим a на 227, цепочка вычислений удлинится q0=22, q1=1, q2=2, q3=3. Результат принято записывать в квадратных скобках, выделяя первое число иным знаком препинания.

225:10 = [22; 2], 227:10 = [22; 1, 2, 3].



Такой разделитель напоминает запятую в десятичной записи числа, однако фракции – не цифры, а числа. Символ отношения a:b можно заменять дробной чертой a/b, как и в школьных обозначениях пропорций или дробей.

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ


Теперь начнем извлекать из алгоритма, помимо фракций, дополнительные выгоды.

В процессе итераций с сопоставимыми между собой числами остаток монотонно убывает до нуля, в связи с чем алгоритм именуют еще алгоритмом исчерпания (остатков). Последний отличный от нуля остаток равен наибольшему общему делителю (НОД) исходных чисел a, b. Подпрограмму вычисления НОД принято именовать gcd от "greatest common divisor", приведем ее вариант, индифферентный к начальному соотношению чисел a и b.

Некоторая тонкость. Неполное частное от деления a=-5 на b=3 принимается равным q0=-2. В таком случае остаток (т.е. НОД) будет положительным числом r=a-q0b=1.

ЦЕПНАЯ ДРОБЬ


Цепная дробь – это формула для записи отношения a и b через фракции

a/b = [q0; q1, ... , qn] = q0 + 1/(q1 + ...).



В примере выше первое отношение раскрывается как

225/10 = [22; 2] = 22 + 1/2,



а второе как

227/10 = 22 + 1/(1 + 1/(2 + 1/3)) = 22 + 1/(1 + 3/7) = 22 + 7/10.


ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА ЦЕПНОЙ ДРОБЬЮ


Произвольное число x представимо в виде конечной или бесконечной цепной дроби через фракции, которые ищутся как целые части инверсных остатков

x = [q0; q1, ... , qn], q0=[1/x], q1=[1/(x-q0)], и т.п.



Одна-треть в десятичной системе представима бесконечной записью 0.33333.., тогда как через фракции это пишется короче [0; 3]. Выгода очевидна.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ


Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда число представимо в виде квадратичной иррациональности(a+bsqrt(c))/d, где c не является точным квадратом. Фракции можно найти с помощью подпрограммы


Периодические фракции корня квадратного из 2 равны 2, из трех: 1,2, из пяти: 4, из шести: 2,4, из семи: 1,1,1,4, из восьми: 1,4, из десяти: 6. Ограничим представление sqrt2=1.4142136, при этом старшие фракции утрачивают периодичность. Радикал из пяти имеет более быструю сходимость, чем корни квадратные из 2, 3 и 7.

Цепная дробь для числа Pi бесконечна и иррегулярна, как и ее десятичное представление.

ПОДХОДЯЩАЯ ДРОБЬ


Подходящей дробью длиною n называется цепная дробь, задающая произвольное число x его наилучшим рациональным приближением. Рекуррентные формулы для вычисления оценок числителя a и знаменателя b вывел еще Эйлер

a-1=1, a0=q0, an=qnan-1+an-2, b-1=0, b0=1, bn=qnbn-1+bn-2,


ниже приведена соответствующая программа.



Подходящее времяпровождение


СООТНОШЕНИЕ БЕЗУ


В теории чисел соотношение Безу – соотношение между парой целых чисел a,b и их наибольшим общим делителем, названное в честь французского математика Этьена Безу соотношением Безу:

НОД(a,b) = ax + by.



Другими словами, наибольший общий делитель чисел a, b можно всегда представить как линейную комбинацию a и b с целыми коэффициентами. Также, впрочем, как любые остатки алгоритма Евклида

r1 = a + b (-q0), r2 = a(-q0) + b(1 + q1q0), ... , rn = ax + by.



Отношению коэффициентов Безу y/x с точностью до знака равно цепной дроби, вычисленной по разложению a/b без учета последней фракции

c = y/x = –[q0; q1, ... , qn-1].


Коэффициенты Безу x,y определены неоднозначно – если какие-то их значения известны, то все множество коэффициентов описывается формулами: x + kb/НОД(a,b), y – ka/НОД(a,b), k = 0,1,...

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ


Рассмотрим линейное уравнение

ax + by = 1.



которое совместно (имеет решение в целых числах), если a, b взаимно просты: НОД(a,b)=1. Решение этого уравнения сводится к поиску коэффициентов Безу, связанных линейно y = cx, отсюда получаем уравнение (a + bc) x = 1 для расчета их начальных значений. В то случае, когда правая часть отлична от 1, в силу линейности она является множителем при решениях приведенного выше уравнения.

КВАДРАТИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ


В пифагоровой тройке (x,y,z) целые числа удовлетворяют равенству:

x2 + y2 = z2


Общее параметрическое решение для пифагоровых троек дает (формула Евклида):

x=m(u2 – v2), y=2muv, z=m(u2 + v2),


где m, u, v - целые числа (параметры), u>v. Ввиду очевидного интереса к пифагоровым троицам, соотношение выведено давно и ничего примечательного, помимо того, что оно дает решение известной проблемы, в себе не содержит. Квадратичный случай в некотором смысле проще линейного, где работает соотношение Безу.


Пифагоровы тройки как точки пересечения окружности с сеткой


Пифагоровы тройки можно использовать для построения целочисленных проекций декартовых координат точки на круге. Поэтому задача их нахождения эквивалентна отысканию рациональных точек на круге единичного радиуса. Эти точки оставляет луч, исходящий из (–1, 0) под углом, имеющим рациональное значение.

Диофант рассматривал не только квадратические, но и кубические зависимости [Джон Стилвел], с тех пор такие задачи называют диофантовыми.

УРАВНЕНИЕ ПЕ­­ЛЛЯ


Квадратичное уравнение с минусом вида

x2 – Dy2 = 1,



где D – целое положительное число, не являющееся полным квадратом, называется уравнение Пелля. Название обязано исторической ошибке Леонарда Эйлера, поскольку Джон Пелль (17 в.) уравнением не занимался. Во Франции оно называется "уравнением Ферма".

Частный случай уравнения Пелля

x2 – 2y2 = 1



изучался еще пифагорейцами в связи с sqrt(2).

Решение x0 = 1, y0 = 0 очевидно. Пары (±1, 0) являются решениями, называемыми тривиальными. Ввиду симметрии, достаточно найти решения с положительными x и y. Если D является полным квадратом, то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на этот параметр. Если D не является полным квадратом, то уравнение имеет бесконечное количество решений.

Пифагорейцы обнаружили способ построения все больших и больших решений посредством рекуррентных соотношений

xn+1 = xn + 2yn, yn+1 = xn + yn,


доказываемых подстановкой в исходную формулу. Помимо того, из уравнения видно, что при достаточно больших числах единицей в правой части можно пренебречь, тогда sqrt(2) приблизительно равен отношению x/y.

Пары (xnn) известны как боковые и диагональные числа, потому что их отношение стремится к отношению стороны и диагонали в квадрате.

Рекуррентное соотношение для общего случая вывел в седьмом веке н. э. индийский математик Брахмагупта. При этом используется правило вложения

(x1 + sqrt(D) y1)n = xn + sqrt(D) yn,


Поскольку задачи с прочими диофантовыми уравнениями часто сводятся к задаче с уравнением Пелля, над техникой поиска его решения работали Лагранж и Эйлер.

Например, известен такой ход. При больших x и y, являющихся решениями уравнения Пелля, отношение x/y должно быть близким к sqrt(D). Верно и более сильное утверждение: такое отношение должно быть подходящей дробью, и имеет место следующий критерий: числитель и знаменатель подходящей дроби являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер n этой подходящей дроби нечетен и сравним с –1 по модулю p (т.е. дает при делении на p число p–1), где p – период цепной дроби.

Пусть D=13, период цепной дроби p=5 и существует n=9 такое, что n mod p = –1, наилучшее приближение sqrt(13) = 649/180, следовательно x=649, y=180 является следующим, после тривиального, решением уравнения

x2 – 13y2 = 1


В нашем распоряжении, вместе с тривиальным, появилась пара решений. Для числа x + sqrt(D)y можно ввести норму (x + sqrt(D)y)(x – sqrt(D)y) = x2 – Dy2, таким образом, решения уравнения Пелля лежат на сфере единичного радиуса (решению соответствует единица кольца Z(sqrt(D))).

Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как "умножать", так и "делить": паре решений (x1,y1) и (x2,y2) можно поставить в соответствие следующую пару

(x1x2 + D y1y2, x1y2 + x2y1), (x1x2 – D y1y2, –x1y2 + x2y1).




Парное решение


ТЕОРЕМА ФЕРМА



Изучение более сложных задач началось с того, что великий математик Пьер Ферма обратил внимание, что среди пифагоровых троек нет троек, содержащих одни квадраты целых чисел. В четвертых степенях соотношение, сходное соотношению Пифагора, не решается. Ферма и независимо Эйлер доказали то же самое для кубов.


Пьер Ферма пишет заметки на полях "Арифметики" Диофанта


Ферма, за дефицитом бумаги, царапал свои записи на широких свободных полях учебника Диофанта. Сын издал записи отца (копию учебника с замечаниями). Из записей следовало, что Ферма доказал самое общее предположение о том, что квадратичный случай – единственный, когда в целых числах разрешимо степенное уравнение

xn + yn = zn.



Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Интрига, скрытая в этом кратком повествовании, развернулась как сжатая пружина, когда теорема Ферма спасла от верной смерти немецкого фабриканта Вольфскеля. Будучи пунктуальным человеком и скучая до положенного отведенного роковому для себя выстрела времени, он случайно снял с полки экземпляр книги, заинтересовался ее содержанием и совершенно забыл о своем намерении. Углубившись в расчеты и не в состоянии завершить их, он завещал тому, кто решит загадку, огромное состояние. Публикация этого сообщения в газете всколыхнула общество.



Теоретические дебаты


После того, как император Наполеон вознес Вольта за изобретенную им электрическую батарейку, занятие наукой во Франции стало не только почетным, но и прибыльным занятием. Во французской Академии Наук, собравшей огромный научный потенциал, начались дебаты корифеев математики в отношении недоказанной теоремы, окончившиеся полным их поражением.

Ферма едва ли мог в своем времени заметить внушительные алгебраические препятствия на своем пути. Например, при n=5 в доказательстве необходимо использовать комплексные числа: это первым заметил в конце 18 века Адриен Лежандр, а Ферма всю жизнь сомневался в полезности таких чисел! Тем самым, доказательство "большой теоремы Ферма" натолкнулось на неоднозначное разложение комплексных чисел определенного вида на простые множители.

КАК ДОКАЗАЛИ ТЕОРЕМУ ФЕРМА


Немецкий математик Эрнст Куммер занимался разложениями комплексных чисел на множители и ему хорошо была знакома неединственность в решении этой задачи. Он построил арифметику целых чисел алгебраического числового поля, порожденного корнями n-й степени из единицы a, рассматривая числа вида z+ay, где z и у – целые, как "новые целые числа". Уже при n=3 в доказательстве Эйлера появляется корень из –1.

В вещественном случае целые числа разлагаются на произведение простых единственным способом. Наблюдая за переполохом во французской Академии Наук, вызванной очередною схваткою между Габриелем Ламе и Огюстом Коши, он послал письмо приятелю, Жозефу Лиувиллю, в котором вылил на спорщиков ушат холодной воды. Оба пренебрегали вариативностью задачи, необъятно разрастающейся в случае неединственности нерегулярных целых чисел n = 23?, 37, 59, 67 (уже при n<100).

Постепенно в поле зрения математиков попали не только комплексные числа, но также эллиптические кривые и модулярные формы. Каждый из этих объектов возник вполне самостоятельно, но к середине XX века японский исследователь Танияма заметил и изложил в виде гипотезы, что всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами является модулярной. Иными словами, между объектами разной природы имеется определенное родство.

В 1985 году немецкий математик Герхард Фрей предположил, что эллиптическая кривая, выведенная из степенного уравнения, не может быть модулярной в условиях, когда теорема Ферма неверна. Другими словами, последняя теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. Самому Фрею не удалось доказать это утверждение, однако вскоре доказательство было получено американским математиком Кеннетом Рибетом.

Острие доказательства сосредоточилось на анализе соотношения эллиптических кривых и модулярных форм. 23 июня 1993 года математик из Принстона Эндрю Уайлс, выступая на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания), анонсировал доказательство гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптический кривых, к которому относятся кривые вида Фрея. Текст с доказательством гипотезы Таниямы, написанный Уайлсом в сотрудничестве с Тейлором, вышел в свет летом 1995 года.

Считается, что именно этим доказательством проблема вполне закрыта. Впрочем, также считали когда-то Ламе и Коши, пока не вмешался Кумер.

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ


Еще Ферма, один из первых проницательных наблюдателей поведения математических объектов, составил кубическое уравнение вида

x3 – y2 = 2


которое связывает куб и квадрат числа, разделенные между собой только одним целым числом. Оказывается, что помимо пары x=3, y=5 квадратическая и кубическая зависимости нигде более не сближаются на столь минимальное расстояние.

Среди эллиптических кривых подобного толка довольно часто цитируется форма Вейерштрасса

y2=x3+g2x+g3



с дискриминантом D = –(4g23+27g32). Заменой переменных она приводится к глобально минимальной форме: это форма, когда степень каждого простого числа входящего в дискриминант не может быть уменьшена и все коэффициенты целые

y2+a1xy+a3y=x2+a2x2+a4x+a6



Кубические уравнения часто рассматривают заданными на числах по модулю (mod p). Если такая частная задача неразрешима, неразрешима и общая. Числа еще более прореживают, выбирая делители дискриминанта. Простые числа, делящие дискриминант, можно объединить в так называемый кондуктор эллиптической кривой (произведение по определенным правилам). Затем выбирают форму приведения, полустабильная форма – одна из таких форм.

МОДУЛЯРНАЯ ФОРМА


Обозначим через H верхнюю комплексную полуплоскость. Пусть N – натуральное и k – целое числа. Модулярной параболической формой веса k уровня N называется аналитическая функция f(z), заданная в верхней полуплоскости и удовлетворяющая соотношению

f(az+b/cz+d)=(cz+d)kf(z),


для любых целых чисел a, b, c, d, таких, что ad – bc = 1 и c делится на N.

Специфическая задача на собственность, в которой преобразование аргумента функции приводит всего лишь к ее масштабированию. Чтобы уметь выделять такие функции, нужно с ними поработать. Вдоль вещественной оси и на бесконечности (если грубо) функция 0.

Пространство модулярных параболических форм веса k уровня N обозначается через Sk(N), оно имеет конечную размерность.

В дальнейшем нас будут особо интересовать модулярные параболические формы веса 2, размерность dim(S2(N)) отлична от нуля и равна 1 для N = 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21. При N = 22 размерность 2. Характерно, что f (z + 1) = f (z) для каждой формы f из S2(N), т.е. интересующая нас функция f(z) периодична и представима гармоническим рядом (суммой экспонент). Среди них выделяют собственную модулярную форму с целыми коэффициентами разложения и первым, равным 1.

Танияма заметил как опытный факт, что между модулярными формами и эллиптическими кривыми наблюдается параметрическое соответствие. С тех пор эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами и кондуктором N называется модулярной, если для нее найдется собственная форма (с рядом ограничений).



Согласованность движений


ГИПОТЕЗА ЭЙЛЕРА



Тут мы притормозим взмахи исторического маятника, и остановимся на примере, ясно показывающем, насколько проблематично решались подобные теореме Ферма задачи. Эйлер предложил выход из тупика неразрешимости, напрашивающийся ввиду того, что четверка чисел 3, 4, 5, 6 связана сходным выражением

33 + 43 + 53 = 63.


Почему бы степенному уравнению не набирать (для его разрешимости) вместе с показателем степени равное ему количество обязательных слагаемых? В начале прошлого века, казалось бы, нашлось подтверждение (Нори, 1911 год)

304+1204+2724+3154 = 3534.


Спустя полвека свое веское слово сказали, наконец, компьютеры. Контрпример К. Дж. Леидера и Т. Р. Паркина (L. J. Lander, T. R. Parkin, 1966 года) одним росчерком каретки принтера развалил эту красивую гипотезу

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.



В 1988 году Наум Элькис из Гарвардского университета нашел еще и следующее решение:

26824404 + 153656394 + 1879604 = 206156734


Так компьютерные эксперименты поставили точку на этой попытке пошатнуть исключительное положение квадратичной задачи.

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА


Одна из великих теорем теории чисел связана с заменой в уравнении для триады чисел квадратичной зависимости на линейную в правой части

x2 + y2 = z.



При внешне чисто декоративной простоте изменения (что тут сильно изменилось со времен древних греков?), решение задачи чрезвычайно усложняется. Описание чисел мультипликативно: любое число с точностью до перестановок представляет собой произведение простых чисел. Изучение сумм объективно затруднено.

Еще Жирар и, позднее, Ферма заметили, что любое натуральное число представляется суммой (не более, чем) четырех квадратов целых чисел. Но и только. В 1749 году, после семи лет работы и почти через сто лет после смерти Ферма, Эйлеру удалось доказать теорему о простых числах, согласно которой разложение числа z на сумму квадратов всегда возможно для чисел 4k+1. Ни одно число вида 4k+3 не представимо в виде суммы двух квадратов. Число, содержащее в своем разложении лишь четные степени 4k+3, может быть представлено в виде суммы двух квадратов.

Если отбросить заведомо не представимые суммой двух квадратов числа, то это 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, ... Известны сложные схемы решения этой задачи, принадлежащие Лежандру, Гауссу, Серру и Якобсталю.

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА


В 1742 году немецкий математик Христиан Гольдбах в письме к своему другу и коллеге Леонарду Эйлеру (переписка опубликована) высказал одно очень простое утверждение: "всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел".

Эйлер заметил в ответном письме, что проблема сводится к доказательству того, что каждое четное число есть сумма двух простых. Эта проблема, решения

x + y = z,



получила название "Проблемы Гольдбаха", и ее доказательство до сих пор не найдено. Правда: какое бы четное число мы не брали, его можно выразить суммой двух простых. Например:

6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, ...


Можно взять сколь угодно большое число, и гипотеза окажется верна. Следующий график количества вариантов разложения взят из обзора Тима Скоренко.


Проблема состоит именно в том, чтобы найти общее математическое доказательство утверждения Гольдбаха. Характерно то, что Гольдбах не был светилом математической науки своего времени. За свою жизнь он опубликовал менее десятка некрупных математических работ, хотя две из них – о бесконечных рядах – сделали его достаточно известным в научных кругах. Он родился в 1690-м году и закончил юридический факультет Кенигсбергского университета: математика была всего лишь его хобби.

В 1725-м году Гольдбах приехал в Россию, где получил звание академика Петербургской академии наук, а с 1742 года работал в Коллегии иностранных дел. Он довольно много путешествовал и дружил с многими известными математиками, в том числе с семьей Бернулли. С Эйлером Гольдбах вел дружескую переписку в течение 35 лет, вплоть до своей смерти в 1764 году в Москве. В 1843-м году 177 писем этой переписки были опубликованы. Так или иначе, Гольдбах сформулировал задачу, которая поставила в тупик самого Эйлера.



Затруднительное положение


КОНЕЧНЫЙ НАБОР ЧИСЕЛ­


Числа представляют собой абстрагированное от предметов свойство иметь свое количественное выражение. Ряд чисел бесконечен, это абстракция.

Галуа, играясь с числами, обозначил числа буквами алфавита и составил из них две таблицы: сложения и умножения. В отличие от привычных нам со школы таблиц, в клетках обоих таблиц размещены все те же A, B, C, ... Побаловаться может каждый, но изящный ход Галуа глубже: его таблицы составлены так, что несмотря на конечность буквенной символики, все правила той арифметики, которые мы учим в школе, соблюдаются.

То есть, A+B=B+A, A•(B+C)=A•B+A•C и т.д.

Множество элементов, на котором определены две операции, называют полем. В частности, это могут быть числа, а таблицы сложения и умножения содержат в качестве результата операции остаток от деления полученного числа на n. Поля с конечным числом элементов называют полями Галуа по имени их первого исследователя и обозначают GF(n).

Число элементов поля n называют порядком поля. Поле называют простым, если n – простое число. Простое поле образуют числа по модулю n: 0, 1, 2,…, n–1, а операции сложения и умножения выполняются по модулю n. Наименьшее число элементов, образующих поле, равно 2. Такое поле должно содержать 2 единичных элемента: 0 относительно операции сложения и 1 относительно операции умножения.

В качестве элементов могут рассматриваться многочлены с коэффициентами из поля GF(2), например. Произведение двух многочленов A(p), B(p) выводит результат за пределы рассматриваемого набора ввиду его высокой степени. Чтобы "вернуть порядок" в дозволенные границы, надо добавить еще одно уравнение связи для подмораживания переменной p так, чтобы можно было выразить старшую степень через младшие. Это эквивалентно делению на многочлен и нахождению остатка от деления.

Таким образом, имеет место аналогия при формировании поля из чисел и многочленов (или последовательностей чисел – их коэффициентов).

Попытка построить поле GF(4) из A=0, B=1, C=2, D=3 также, как и простые поля GF(2), GF(3), дает таблицы сложения и умножения, из которых видно, что для элемента 2 по операции умножения отсутствует обратный, т. е. набор чисел 0, 1, 2, 3 не является полем при введении операции по модулю 4.

+
A
B
C
D
A
A
B
C
D
B
B
A
D
C
C
C
D
A
B
D
D
C
B
A
A
B
C
D
A
A
A
A
A
B
A
B
C
D
C
A
C
D
B
D
A
D
B
C


Поле GF(4) не удается построить над множеством чисел, но существует путь построить его над расширенным полем, используя многочлены.

В более узконаправленной теории групп выделяют бинарную операцию, оставляя во внимании единичку, обратный элемент и ассоциативность (независимость порядка применения операции к элементам). Таковы целые числа с операцией сложения. Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой, см. WIKI.

Первая из табличек Галуа носит название четвертной группы Клейна (классификация от 1884 г.), ее образуют, например, приведенная система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1,3,5,7, обозначают V4, см. WIKI.

Теория полей и теория групп смыкаются – важнейшим свойством конечных полей является следующее. Множество всех ненулевых элементов конечного поля образует группу по операции умножения, т. е. мультипликативную группу порядка n–1. Группа, которая состоит из всех степеней одного из ее элементов, называется циклической группой. Группа не циклическая – элементы – не степени.

Любая перестановка элементов B,C,D не меняет этой таблицы умножения в целом – группа переходит в себя (то есть осуществляет некоторый гомоморфизм, к тому же все перестановки обратимы, поэтому это гомоморфизм, являющийся биекцией, то есть изоморфизм, да к тому же это еще изоморфизм группы в себя, то есть автоморфизм).

При автоморфизме нейтральный элемент A всегда должен переходить в себя, поэтому никаких других автоморфизмов быть не может, S3 (симметрическая группа перестановок трех элементов) и есть искомая группа автоморфизмов, и т.п., см. Заметки.

Еще у древних греков набор обозначаемых ими чисел был конечен, но ими же доказана бесконечность ряда простых чисел. С тех пор бесконечность не декларировалась, но подразумевалась, как нечто само-собой разумеющееся. Данное от природы. Ведь законы арифметики не столько изобрели, сколько открыли, создается ощущение, что они существуют сами по себе, как независимая от разума данность.

Галуа обратил внимание, что разум не все берет у природы. Открытые в ходе исследования операций над обычными числами законы арифметики не изменятся, если содержание операций сложения и умножения изменить с целью не выходить за пределы заданного конечного набора чисел. Их, эти законы, тоже можно было бы переоткрыть, но теперь уже есть автор таблиц.

Привычные правила арифметики важны лишь постольку, поскольку они сокращают выкладки и способствуют решению задач. Забираясь в абстрагирование дальше, можно и сами эти правила менять. В теории сравнений важное место отводится теоремам Ферма и Эйлера, вычетам, символам Лежандра и закону взаимности.

ПОЛЯ ГАЛУА

ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ


Можно не отбрасывать лишние числа, как в таблицах выше, а договориться, что часть из них обозначает одно и то же, как тут показано (конечные объекты нумерует нижний ряд)

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 ... 
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
 ... 


В новой арифметике количество различных между собой чисел нижнего ряда называют модулем, для таблицы модуль p=3, а когда хотят сопоставить числу верхнего ряда обозначаемый им предмет (число нижнего ряда), пишут так

4 = 1 (mod 3)



Кроме того, равенство a = b (mod p) означает, что a – b делится нацело на p. Поскольку числа, равные или большие по значению p, всего лишь обозначения, их заменяют по итогам сравнения числами из диапазона 0, 1, ... , p–1.

Если матерчатый метр, который используют портные, намотать на палец, то возникает примерно такая же система чисел. В геометрии Евклида, с которой все начиналось, можно совершить не более чем четыре поворота на прямой угол. Калитка может быть открыта или закрыта.

Конечность принимаемых во внимание элементов тут обычна. Ситуация типичная, поэтому разработка для нее ветви теории чисел важна. Первый шаг в эту сторону сделан был алгоритмом Эвклида, принесшим представление о фракциях и об остатках.

Существует объемный перечень свойств сравнения, используемый в выкладках с ними: cравнения по одинаковому модулю можно почленно складывать и перемножать, слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно переносить в другую часть, изменив его знак на обратный, и т.п. С их помощью решается линейное сравнение

сa = b (mod p),



относительно a при взаимно простых с,p с помощью соотношения Безу cx+py=1 или cbx+pby=b, которое по модулю утрачивает слагаемое: cbx=b (mod p). Следовательно, a=cx (mod p) – выражается через один из коэффициентов Безу. Китайская теорема об остатках дает рецепт для решения систем линейных уравнений, при разных модулях.

ЕЩЕ ОДНА ТЕОРЕМА ФЕРМА


Степенные функции конечных наборов чисел исследовал Ферма. Разместим в нижнем ряду значения по модулю p = 3 квадратов a2 чисел верхнего ряда

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 ... 
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
 ... 


Уже тут видна закономерность: единицы нижнего ряда. Ферма доказал, что это свойство справедливо для любого простого числа p и любого a (не сравнимого с нулем)

ap – 1 = 1 (mod p).



Эйлер привел теорему в более общей формулировке, для любого числа p в условиях прежней теоремы

aφ(p) = 1 (mod p),



где φ(p) – функция Эйлера: количество чисел, меньших p и взаимно простых с p. Так p = 20 взаимно просто с 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, т.е. φ(20) = 8.

В теореме Ферма φ(p) = p – 1. Пусть a=5 и p=11 взаимно просты, p – простое, φ(p) = p – 1 = 10. Тогда 510 = 1 (mod 11). Среди показателей степени с аналогичными свойствами есть минимальный, его называют порядком числа a.

ВЫЧЕТЫ


Согласно теореме Ферма, степенное уравнение

ap – 1 = 1 (mod p).



разрешимо относительно любых значений a диапазона 1, 2, 3, ... , p–1, если p – простое число. Таким образом, при единичной правой части проблем с отысканием корней высокой степени не возникает. Другое дело, например, искать квадратичные корни

a2 = b (mod p),



для всех ненулевых значений правой части b из числового диапазона 1, 2, 3, ... , p–1. Они могут быть или не быть. Вместе с тем, квадратичные зависимости исследовать важно, квадратичные корни из 1 и –1 в теории комплексных чисел образуют алгебру двух образующих.

Эта задача решается элементарным перебором. Построим таблицу квадратов по модулю p=13 последовательности натуральных чисел

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 10 
 11 
 12 
0
1
4
9
3
 12 
 10 
 10 
 12 
3
9
4
1


Наверху цветом помечены числа, которые фигурируют в обоих строчках таблицы. Квадратичные уравнения с правыми частями 1, 3, 4, 9, 10, 12, их называют вычеты, разрешимы в целых числах. Остальные числа 5, 6, 7, 8, 11 – квадратичные невычеты. В терминах алгоритма Евклида, вычеты, это остатки, которыми заменяются степени чисел, выходящие за пределы диапазона.

Так как правые части и квадратичные корни размещены в одном и том же ряду ограниченной линейки чисел, возникает толкование вычетов как корней a, которые встречаются в правой части совместного сравнения. Это видно по верхней части таблицы, содержащей корни. Такая трактовка употреблена в критерии Эйлера, мы будем ее придерживаться.

Вычеты помечают эквивалентные по ним числа, способствуя разбиению множества на классы эквивалентности. Существуют понятия полной и приведенной систем вычетов размеров p и φ(p). В верхнюю строчку таблицы для нахождения вычетов можно включать отрицательные числа, отстоящие друг от друга числа, вещественные или иррациональные числа. В нижнюю – линейную, квадратичную и прочие функции.

СИМВОЛЫ ЛЕЖАНДРА


Свойство числа быть или не быть вычетом по модулю p напоминает булеву функцию со значениями ±1. Сохранилось идущее от Лежандра дробное обозначение ее (a/p), удобное для алгебраических выкладок, поскольку она обладает мультипликативным качеством (ab/p) = (a/p)(b/p). В точке 0 значение функции приравнивается 0.



Вектор символов Лежандра несет информацию об индексе его элемента, изменяющемся в диапазоне от 0 до p–1: элемент равен 1, если индекс – вычет. Переборный алгоритм поиска вычетов учитывает известную симметрию нижней части квадратичной таблицы относительно середины всего диапазона.

ВЫЧЕТЫ ПЭЛИ


Давно известно подобие арифметик чисел и полиномов. Обстоятельство важное, само по себе, но есть еще одна интерпретация, наделяющая символы Лежандра регулярной структурой. Рассмотрим в качестве конечного набора элементов девять полиномов, например, таких

0, 1, −1, x, x+1, x−1, −x, −x+1, −x−1


Этот вектор отвечает также наборам чисел (не обязательно целых), построенных из значений отмеченных полиномов. Раймонд Пэли оставил в этом множестве иррациональные числа – корни a=–(1–√5)/2=0.618.., b=–(1+√5)/2=–1.618... хорошо известного в теории золотого сечения неприводимого к простым множителям многочлена

x2 + x – 1=0.


Образуется система квадратичных вычетов: (±1)2=1, (±x)2=−x+1, (±(x+1))2=x−1, и (±(x−1))2=–1. Как видно, числа x и x+1, –x и –x–1 представляют собой невычеты.

Показатель p=9 представляет собой произведение двух простых чисел (троек), соответственно цепочка символов Лежандра распадается на триады (0, 1, 1), (–1, –1, 1), (–1, 1, –1). Сегментированные символы Лежандра нашли применение в практике построения блочных ортогональных матриц, для которых моноблоков не существует.

ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ


К упрощающим задачу приемам относится квадратичный закон взаимности, сформулированный Гауссом для двух простых чисел a и b, имеет вид

(a/b)(b/a) = (–1)AB,


где A = (a – 1)/2, B = (b – 1)/2. Закон взаимности используется для смены основания символов Лежандра в примерах, где трудоемкость перебора существенно зависит от величины нижней части.

Подобного сорта закономерности не имеют самостоятельного звучания, как и соотношение Безу. Есть и другие, похожие. Сравнение полинома произвольной степени f(x) = 0 (mod p), где р – простое число, равносильно некоторому сравнению степени не выше p–1. Разнообразие решений накладывает жесткие ограничения на коэффициенты полинома, которые должны быть кратны p.

Существуют доказательства огромного числа сравнений для симметрических многочленов. Эти задачи тесно связаны с проблематикой, касающейся представления натуральных чисел в виде сумм степеней других натуральных чисел. Всякое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов, девяти кубов (число 9 не может быть уменьшено), 21 штуки четвертых степеней и т.п.

КРИТЕРИЙ ЭЙЛЕРА


Теорему Ферма можно переписать, взяв корень квадратный из левой и правой части степенного уравнения, так что

aP = ±1 (mod p),



где P = (p – 1)/2 (половина степени), можно заметить, что четные и нечетные значения P отвечают значениям p=4k+1: 1 5 9 13 17 21 .., p=4k+3: 3 7 11 15 19 23 ...

Правую часть, принимающую значения ±1, Эйлер заменил символом Лежандра, получив критерий для оценки разрешимости квадратичных сравнений

(a/p) = aP (mod p).


Тот факт, например, что сравнение a2 + 1 = 0 (mod p) разрешимо для p=4k+1 и неразрешимо для p=4k+3, отмечал еще Ферма. Из критерия Эйлера это следует автоматически: –1 – квадратичный вычет для четных значений P и квадратичный невычет – для нечетных.



Эйлер пожимает руку Кулибину на строительстве его арочного моста


В СССР кинорежиссером С.Л. Райтбуртом на тему доказательства теоремы Ферма создан научно-популярный фильм.




ИНТЕРНЕТ-ЛИТЕРАТУРА


Обзоры: Тихомиров - великие теоремы прошлого | WIKI: Теоремы | Вапедия: теория чисел | Дон Цагир. ПЕРВЫЕ 50 МИЛЛИОНОВ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ [2] | Трансцендентность.

Страницы истории: Смирнова. Пифагор: WIKI, Кантор - Пифагор. Архимеду приписывают труд, под названием "Исчисление песчинок". Преимущество сети то, что на него можно посмотреть. На связи алгебры с геометрией построены иллюстрации, находимые у Башмаковой (Диофант), Крафта. Диофантово уравнение [2].

Ферма обнаружил, что повышение порядка несовместимо с целочисленностью - это ведь уравнения кривых или поверхностей, которые умудряются располагаться между точками решетки. Слалом, в области чисел. Ферма оговорился, что видит простое доказательство слалому. Параметрические решения иллюстрируются кривыми и точкам на сетке, которые они высекают. Так, например, экспонента проходит всего через две целочисленные точки 0 и 1. См. Кирсанов - теорема Ферма. Теореме Ферма посвящен бестселлер Саймона Сингха | Эллиптические функции.

О роли уравнения Пелля : обзор Бугаенко В.В., сайт Гаршина, кратко вики-заметки, задача Архимеда о быках (последняя задача "древних греков" сводится к квадратичному уравнению, что и заметил Ферма). Уравнение Пелля позволяет находить автоморфизмы бинарных квадратичных форм [2]. Дарио Альперн балуется тем, что загнал квадратичное уравнение в сетевую машину, см. Dario Alpern' Solver. Полиномиальный случай тривиален, поскольку корней и без того мало, их можно отыскать элементарным перебором, исходя из соображения, что все они принадлежат к делителям свободного члена. Но уже квадратичное уравнение с двумя неизвестными, появляется свобода, решается заметно сложнее. То же уравнение с тремя неизвестными - это уже область Ферма.

СУДЬБЫ МАТЕМАТИКОВ | СЕРПИНСКИЙ | ГЕЛЬФОНД | ЖУРНАЛ 1959


Теории чисел посвящена сетевая книга Сергея Викторовича Сизого.. 2004 год, Джон Стилвел набирает сам книгу в LaTeX. Среди повествований о теории чисел – Гидинкин, о малой теореме Ферма. Размышление о математике с позиций кризиса ее, Морис Клейн. Поля Галуа описаны в пособии. См. Алгоритмы

В шестидесятых годах на русском языке опубликована книга президента Лондонского математического общества Гарольда Дэвенпорта. Примерно тогда же изданы книги Вацлава Серпинского и Александра Осиповича Гельфонда, Ойстина Оре. Много любопытного у Роджера Пенроуза. Полезно знать кто такой Морделл Луис Джоел.

В школьном возрасте на Юрия Ивановича Манина большое влияние оказала книга Ивана Матвеевича Виноградова «Основы теории чисел» и в 15 лет он отослал Виноградову полученное им обобщение формулы для числа целых точек в круге. В 1953 окончил среднюю школу с золотой медалью и поступил на механико-математический факультет МГУ. Теперь мы можем почитать уже его видение теории и составных частей, см. "Введение в теорию чисел".

Давенпорт, Дэвенпорт (Davenport) Харолд (30.10.1907, Акрингтон, 9.6.1969, Кембридж), английский математик, член Лондонского королевского общества (с 1940), в 1957-59 президент Лондонского математического общества. Автор работ по аналитической теории диофантовых уравнений. Наиболее значительны работы Д. по оценке тригонометрических сумм и характеров в конечных полях, оказавшие значительное влияние на современную алгебраическую теорию чисел.

В теории групп выделяют бинарную операцию, оставляя во внимании единичку, обратный элемент и ассоциативность (независимость порядка применения операции к элементам). Таковы целые числа с операцией сложения. Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой, см. WIKI.

Первая из табличек Галуа носит название четвертной группы Клейна (классификация от 1884 г.), ее образуют, например, приведенная система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1,3,5,7, обозначают V4, см. WIKI. Группа не циклическая (элементы – не степени). Любая перестановка элементов B,C,D не меняет этой таблицы умножения в целом – группа переходит в себя (то есть осуществляет некоторый гомоморфизм, к тому же все перестановки обратимы, поэтому это гомоморфизм, являющийся биекцией, то есть изоморфизм, да к тому же это еще изоморфизм группы в себя, то есть автоморфизм). При автоморфизме нейтральный элемент A всегда должен переходить в себя, поэтому никаких других автоморфизмов быть не может, S3 (симметрическая группа перестановок трех элементов) и есть искомая группа автоморфизмов, и т.п., см. Заметки.

СНЕЖИНКИ КЕПЛЕРА | ЭЙНШТЕЙН О КЕПЛЕРЕ


ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА


Г.Г. Харди Апология математика из сборника Абрамочкина Евгений Григорьевича. Вычислительная математика: С. Шарый | Райс Джон | C. Белов и Н. Золотых.

Справочник пакета МАТЕМАТИКА | ЗЕНОН | ДЕКОДЕР СИМВОЛОВ | КИРИЛЛИЦЫ



Rambler's Top100